几何画板在中学数学教学中的应用
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【摘要】几何画板自问世以来在中学数学教学中有着广泛的应用，它给课堂教学模式改革带来了机遇和挑战。本文将从几何画板在中学数学教学以下几个方面的应用进行论述：在中学数学概念教学方面、在解题方面、在探究性学习方面和在教学中的优势以及应用几何画板在教学中应注意的问题。
【关键词】几何画板中学数学教学应用
几何画板软件问世以来，无疑给中学数学教学引发了一场新的技术教育革命。它使以前教师用语言难以表达的某些概念、数量关系及图形的空间位置关系等能轻而易举地展示给学生，从而使学生对数学知识的理解达到更深的层次。教师利用几何画板制作的演示课件进行辅助教学，可以使教学变得生动活泼，激发学生的学习兴趣。同时，学生也可以在老师的指导下，利用几何画板进行探究性学习，充分发挥学生的想象力和创造力。为此，本文将探讨如何利用几何画板进行某些数学概念教学，解题研究和指导学生进行探究性学习，以及应用几何画板进行辅助教学的优势和需要注意的几个方面。
1．几何画板在中学数学概念教学方面的应用
中学数学的概念很多，然而并不是每一个概念都要用几何画板来辅助教学，但是像圆锥曲线中的椭圆、双曲线和抛物线等概念，仅凭教师的一张嘴、一支粉笔是很难讲清楚的。而几何画板在这方面则可大显身手，它把学生很难想象到的点的轨迹动态地展现在学生眼前。
例如，“抛物线”的定义：到一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。但是这个定义课本并不是首先给出的，而是说“我们知道到―个定点的距离和到一条定直线的距离的比是一个常数e，当0
圆锥曲线演示课件
图一
迹已变成了双曲线，如图二所示。再拖动点C，使得这个比值e=1，此时我们看到了点P的轨迹是一条抛物线，如图三所示。
圆锥曲线演示课件
图二
圆锥曲线演示课件
图三
此外，这个课件还可以在复习课中，演示椭圆的离心率e∈(o，1)，逐渐增大时，椭圆的形状越扁，而逐渐趋于0时，形状越接近圆。e∈|x－2|+|x+1|+|x－3|=8(1，∞)逐渐增大时，双曲线的开口由窄变宽。
学生有了上述趋直观后，于是师生共同用几何画板来探求满足条件：到一个定点的距离和一条定直线的距离的比等于1的点的轨迹是什么。步骤是，先作一定点F和一条定直线L，在直线L上任作一自由点M，过点M作直线mL，再连结MF，作MF的垂直平分线n交直线m于点P，跟踪点P，显然点P到点F的距离和到直线l的距离是相等的(即e=1)。最后我们拖动点M，可以看到点P的轨迹是一条抛物线，如图四所示。
图四
2．几何画板在解题方面的应用
几何画板在中学数学解题方面也有着很广泛的应用，如在数形结合方面，在分类讨论方面、在图形的空间变换方面等，都可以用几何画板来演示各种类型数字题中的数量、图形位置之间的关系。
在解含有参数的方程或不等式中，一般都要对参数进行分类讨论，而学生并不是都知道讨论的必要性。看下面例子：
解方程：x-2=a-x2， ①
并讨论参数a对方程根的影响，
解析：方程有根的条件是：x-2≥0和a-x2≥0，原方程两边平方后有（x-2）2=a-x2②
即 2x2-4x+4－a=0
由 Δ=(-4)2-4×2×(4-a)≥0,知方程有根又要满足条件：a≥2，在此条件下，方程②的两根为：
x1=2+2a-42和
x2 =2-2a-42
显然x2不能满足条件x-2≥0，应舍去，由2+2a-42≥2得a≥4
x1也满足条件x－2≥0，事实上，x1作为方程②的解，必满足方程②，而(x-2)2≥0所以a-x2≥。
故当a＜4时，原方程无解；当a≥4时，原方程的根是
x=2+2a-42
讨论：方程①变形到方程②是非同解变形，所以条件a≥2只能保证方程②有解，但不能保证方程①有解。因为满足②式的方程还有：
-(x-2)=a-x2③
所以原方程的解必须同时满足条件a≥2、x-2≥0和a-x2≥0。
可以看出，上面用代数方法解答讨论是比较费力的，学生也不一定能完全理解。下面用几何画板制作演示课件来配合讲解，我们将会看到各种量的关系，会一览无余的展现在学生的眼前。同时能培养学生使用数形结合解题的意识。原方程的根就是直线y=x-2和曲线y=a-x2交点的横坐标，在几何画板中，作出含参变数a的函数的y=a-x2图象和直线y=x-2的图象。如图五所示：改变参数a的值，此时将看到这个半圆的半径在变化。由于直线的位置已确定，半圆与直线是否有相交就完全取决于参数a的值了。当a≥4时，半圆和直线总是相交的，即原方程总是有解的；当a
图五
3．几何画板在探究性学习方面的应用
几何画板能为学生进行探究性学习方面提供一个很好的操作平台。特别是它的动态演示效果，带给学生很多的感性认识，丰富学生的表象,使学生的猜想、归纳、推理和论证有了目标。下面举例说明：
已知常数a>0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且
BEBC=
CFCD=
DGDA
，p为GE与OF的交点。问是否存在两个定点，使P到这两个点的距离的和为定值?若存在求出这两个点的坐标及此定值。若不存在请说明理由。（2003年高考题，全国卷）
图六
分析：本题是要探求点P的轨迹是不是椭圆，为此用几何画板制作一个满足题目条件的演示课件，如图六所示：拖动点E在BC上移动，可以看到三个比值始终相等，而点P运动的轨迹是椭圆(部分)如图六所示说明存在两个定点，使得点P到这两个定点的距离的和为定值。拖动点C，可以改变参数a的值，当a的值逐渐减小时，椭圆的长轴由原来与y轴重合变化到与x轴平行。如图七所示：显然有了上述直观，求点P的
图七
轨迹方程应该不是难事了；同时也看到对参数a的讨论是很有必要的，解答过程略。
4．几何画板在教学中的优势
4.1利用几何画板可以创设问题情境。有了情境才能激发学生的求知欲望，才能提出猜想并想方设法去验证。如图八所示，正三角形ABC的边长一定，点A、B分别在两条互相垂直的直线上移动，问点C的轨迹是什么？
图八
我们只要跟踪点C，用鼠标拖动点A在直线m上移动，可以看到点C的轨迹很像是椭圆的一部分，由图我们猜想它会不会是一个标准椭圆逆时针方向旋转了45°呢？有了这一个感性认识，我们就设法去推导、去验证这个猜测。设ABC的边长为a，分别以直线m、n分别为横轴和纵轴建立直角坐标系。设∠OAB=θ为参数，点C的坐标为(x，y)，过点C分别作OX、OY的垂线，垂足分别为D、E。
这正是我们所期待的结果。
(2)几何画板有很强的交互性。建构主义学习理论认为，知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人(包括教师和学习伙伴)的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得的。而几何画板正是这样的学习资料，它给学习者提供了强大的交互平台，使学生学数学变成做数学、玩数学。如图十这个课件就具有这样交互式的特点:学生拖动N，可以改变这个三角函数的初相φ的值，此时会看到图象在左右移动；拖动点M，可以改变这个图象的振幅A的值，此时会看到图象在纵向伸缩;拖动点L,可以改变ω的值进而改变图象的周期2πω的值，此时会看到图象横向伸缩。通过学生自己操作，能亲身体验知识的发生过程，主动构建自己的知识体系，比起教师从外部灌输效果要好得多。
5．应用几何画板在教学中应注意的问题
(1) 应用几何画板制作的动画演示给学生时，应根据课堂需要适时展示。否则，会分散学生的注意力，适得其反。
(2) 计算机辅助教学毕竟是“辅助”，不能让计算机全部来代替人的工作，剥夺了人的情感交流。因此，应用几何画板进行辅助教学时也不例外，该用计算机的地方就用计算机，不该用计算机的地方就不用计算机。
(3) 应用几何画板进行辅助教学与传统教学应该是互为补充，相益得彰。而不要人为的把它们对立起来，以为有了新的教育技术，就不重视传统教育的看法是错误的。
(4) 要求学生比较熟练掌握几何画板的使用方法，这样才能顺利进行辅助教学，同时学生自主学习，探究学习，合作学习才成为可能。
总之，几何画板在中学数学教学中有着广泛的应用，它给课堂教学模式改革带来了机遇和挑战。因此，每一个数学教师应该熟练掌握几何画板的使用方法，制作出优良的教学课件。