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最值问题一直是高考数学中的一个热点,几乎年年都有所涉及. 在解题的过程中,我们不难发现求最大(小)值问题,绝大多数都可转化为不等式问题.本文总结出了解决最值问题的七个常用模型,并以2011年高考题为例加以分析,希望对同学们有所帮助.
第一招: 运用“x2≥0”模型
对任意的x∈R,有x2≥0恒成立,运用x2≥0等号成立的条件,可解决二次型的最值问题,但同时要区分在闭区间的最值问题.
例1 (天津文科卷)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则■+3■的最小值为 .
分析 画出梯形,建立直角坐标系,将向量问题坐标化,从而转化为二次型的最值问题,利用配方法,结合模型“x2≥0”即可解决.
解 以直角梯形的D点为坐标原点,DA边所在直线为x轴,DC边所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,设C(0,c),P(0,x),则A(2,0),B(1,c),
■=(2,-x),■=(1,c-x),
■+3■=|(5,3c-4x)|=■≥5,即其最小值为5.
点评 将向量问题坐标化,可利用解析法来解决.
第二招: 运用“Δ≥0”模型
此法是构造一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),运用“x∈R,Δ=b2-4ac≥0”求函数的最值.
例2 (浙江卷)设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是 .
分析 构造一元二次方程,利用判别式来解决.
解 设2x+y=t,则y=t-2x,代入4x2+y2+xy=1中得
6x2-3tx+t2-1=0.
将上式看做一个关于x的二次方程,则由判别式大于等于0,可得
Δ=(3t)2-4×6×(t2-1)≥0.
解之得-■≤t≤■,所以2x+y的最大值为■.
故填■.
评注 对于二元最值问题,利用判别式法来解是不错的选择.
第三招: 运用“│sinx│≤1,│cosx│≤1”模型
此法主要用于求三角函数或可转化为三角函数的最值问题. 其解法是先化为关于正、余弦函数的一次或二次式,再利用有界性即│sinx│≤1或│cosx│≤1来完成.
例3 (上海卷)函数y=sin(■+x)cos(■-x)的最大值为 .
分析 先化为y=Asin(ωx+φ)+k型,再利用│sinx│≤1来求最值.
解 将原函数解析式展开,得
y=cosxcos(■-x)=■cos2x+■cosxsinx=■(1+cos2x)+■sin2x
=■+■sin(2x+■).
当sin(2x+■)=1时,ymax=■. 故填■.
点评 本题先用和差角公式展开,再用降幂公式,化为一次式,利用正、余函数的有界性来解决.
第四招: 运用“a,b∈R+,a+b≥2■”模型
利用二元均值不等式求最值时,应注意遵循条件“一正二定三相等”.
例4 (重庆卷)已知a>0,b>0,a+b=2,则y=■+■的最小值是( )
A. ■ B. 4 C. ■ D. 5
分析 直接运用均值不等式,只能求ab的最值,而无法求■+■的最值. 这时可逆用条件,即1=■,将■+■乘以1,展开即可解决.
解 由a>0,b>0,a+b=2,则
y=■+■=(■+■)(■)=■(1+■+■+4)≥■(5+2■),
则y≥■. 故选C.
第五招: 运用“f(x)≥f(a)或f(x)≤f(b)”模型
如果较易判定所给的函数在定义域内或指定区间内是单调函数,这类最值问题就可通过单调性等,得到“f(x)≤f(a)或f(x)≥f(b)”的通用模型,用等号成立条件而获解,但应注意须先证明,再运用.
例5 (湖南卷)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M、N,则当|MN|达到最小时t的值为( )
A.1 B. ■
C. ■ D. ■
分析 求|MN|达到最小值,寻找一个关于x的函数式,再利用函数的单调性来解决.
解 由题意画出函数的图象如右,则有|MN|=x2-lnx(x>0).
不妨构造函数h(x)=x2-lnx,则
h′(x)=2x-■.
令h′(x)=0,解得x=■.
因为当x∈(0,■)时,h′(x)
当x∈(■,+∞)时,h′(x)>0,则h(x)是增函数;
所以h(x)≥h(■),
所以当x=■时,h(x)取最小值,即|MN|达到最小,此时t=■.
故选D.
点评 本题涉及到对数型函数的最值问题,利用导数法判断出单调性即可简捷地解决,但同时要注意极值与最值的区别.
第六招: 运用“||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|”模型
使用不等式||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|求最值时,应注意等号成立的条件.
例6 (陕西卷)若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a的取值范围是 .
分析 此题的关键是求|x+1|+|x-2|的最小值,再利用恒成立或有解的结论即可解决.
解 由不等式|z1|+|z2|≥|z1±z2|知,|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,即
(|x+1|+|x-2|)min=3.
|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,|a|≥(|x+1|+|x-2|)min,即|a|≥3,解得a≤-3或a≥3. 故实数a的取值范围是(-∞,-3]∪[3,+∞).
点评 恒成立问题是高考数学的热点问题,常将其转化为最值问题去处理.不等式有解、无解与恒成立的关系如下(f(x)有最大值或最小值):
a>f(x)有解?圳a>fmin(x);a
a>f(x)无解?圳a≤fmin(x);a
a>f(x)恒成立?圳a>fmax(x);a
第七招: 运用线性规划模型
此法通常是“三步曲”来解决:(1)画可行域――在平面直角坐标系中作出可行域;(2)作目标函数的等值线――即一组平行线;(3)求出最终结果――平行移动目标函数的等值线,即可得到有唯一的最优解,或是无穷最优解,或无最优解.
例7 (新课标全国卷)变量x,y满足约束条件3≤2x+y≤9,6≤x-y≤9,则z=x+2y的最小值为 .
分析 题目中给出的不等式组,可与平面区域联系起来,运用线性规划模型可解决.
解 如右图,作出可行域.
作直线x+2y=0经过原点(0,0),
作一组与x+2y=0平行的直线l:x+2y=z.
则当l过A(4,-5)点时,z值最小.
所以zmin=4+2×(-5)=-6. 故填-6.
点评 运用线性规划模型是解决此类问题的通法.