借助直观 建构概念

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【教学内容】人教版五年级下册“认识因数”。

【教学目标】

1.借助直观，建立因数的概念，学会找出全部因数的方法，发现因数的特点。

2.能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。

3.初步养成乐于思考、勇于质疑、言必有据的良好品质。

【教学过程与评析】

一、引入课题，初步感知因数是“表示1份”的数

（一）借助数球，找出12的因数

师：这有一串小球，如果请你这样数：1份1份地数，数到最后1份恰好数完，每份几个？

生：每份1个。

生：每份1个最保险，无论这串小球有多少个，都可以恰好数完。（教师协助学生1个1个地数小球，发现小球共12个）

师：现在知道一共有12个小球了，每份是几个也可以恰好数完呢？

生：每份2个。

生：每份可以是3个。

……

教师将学生答出的每份数按顺序板书到黑板上。

（评析：陈老师设计的“数球”活动是学生认识因数、建立概念的重要经历，这个富有创造性的活动使学生形成了对因数形象的、整体的、结构性的认识，由此初步感受到因数就是“一个整数的单位”。）

（二）初步建立因数的概念

师：看来只有1、2、3、4、6、12这几个整数，以它们为1份，可以恰好凑成12。这些数与12有着不一般的关系，它们是12的因数。因数这个词虽然并不生疏，但今天要研究的是一个数的因数，特别要指出的是只有整数才能有因数，而且作为因数的数也必须是整数。这节课我们就来认识因数。（教师板书课题：认识因数）

（评析：通过“数球”活动，学生将“球的总数”就是要研究的“数”，“以几个为一份”就是“这个数的因数”，“能否1份1份地恰好数完”是判断“每份数”是否为“这个数”的因数的标准，“这样的每份数”能找到几个，“这个数”的“因数”就有几个……这种让概念与“数球”活动建立起对应关系的过程，是学生旧经验与新认知对接的过程，也是逐步认识概念、理解概念的过程。）

二、教学新知

（一）了解因数与乘除法有关

1.判断并说明理由。

（1） 7是14的因数。

生：对，因为14÷7=2。

生：我也认为是对的，好比你有14个小球，7个、7个地数，数2次正好数完。

（2） 5×6=30，5是30的因数。

生：我认为是对的。5×6=30，说明6个5是30，也就是30个小球，每份5个，数6次正好数完。

（3） 5×6=30，6是30的因数。

生：当然也是对的。5是，6也一定是。

生：我同意，因为5×6=30，30÷5=6，30÷6=5。

生：（30个小球）5个、5个地数，数6次；6个、6个地数，数5次。

（评析：学生主动用“小球”来理解、分析和解释新问题，直观的模型成为了学生认识抽象概念的重要支撑，这正是直观的价值。）

2.根据算式找因数。

师：根据“5×6=30”这个算式，能找出30的两个因数。谁能再说一个算式，让大家也能找到某个数的两个因数。（一个学生说算式，大家根据算式找出某个数的两个因数）

3.归纳因数的概念。

师：这样举下去，例子太多了，能不能概括一下什么情况下我们就说a和b都是c的因数了。

生：当c÷a=b时，a和b都是c的因数。

生：或者用乘法，当a×b=c时也行。

师：“数球”让我们形象地认识了因数就是可以作为整体中1份的那些整数，字母则概括出根据这种都是整数的乘法或者除法算式，一下可以找到一个数的两个因数，因数总是成对出现的。那12的因数是不是一对一对的？（根据学生的回答，教师将12的因数一对一对地画上线）

（评析：“因数”刻画的是整数之间的一种特殊关系，这种“关系”是隐形的，不容易被学生察觉、认识和理解，而“数球”活动让这种关系外显，易于感知，同时调动了已有的认知经验，使其“易于理解”。）

（二）研究找因数的方法

1.尝试尽可能多地找出28的因数。

学生先独立尝试尽可能多地找出28的因数，之后进行小组交流：28是不是只有刚才同学们找到的这些因数，然后教师组织学生汇报找因数的方法，并将28的因数按从小到大的顺序写在黑板上。

2.借助数轴，感悟找全因数的方法。

师：28的因数中有最小的吗？最大的呢？

生：28最小的因数是1，最大的因数是28。（课件演示：出现数轴，数轴上出现1和28）

师：如果还有因数应该在1和28这对因数之间，在这个范围内，最小的是几，最大的呢？

生：最小的是2，最大的应该是14。（课件演示：数轴上出现2和14）

师：最小的好说，最大的为什么就是14呢？

生：最小的如果是2，2×14=28，最大的就应该是28。

生：15～27都不可能，它们乘1比28小，乘2就比28大了。

师：如果还有因数就应该在2和14之间，在这个范围内，最小的是几，最大的呢？

生：最小的是4，最大的是7。（课件演示：数轴上出现4和7）

生：本来最小的应该是3，但3不是28的因数，就可以试试4，4×7=28。

师：如果还有因数就应该在4和7之间了？

生：但是5和6都不是。

师：借助数轴，我们可以看到，如果按顺序1和几，2是吗；2和几，3是吗；3和几……一对一对地找因数，实际上是在不断地缩小范围，自然就可以找出全部的因数了。

（评析：借助数轴找一个数的因数，使得学生在探寻找因数的方法时能够更“有感觉”地找，这种感觉来自于数轴上点与点之间的位置关系，它使得学生对“因数”的认识更富有位置感和联系感，进而更好地理解并掌握找因数的方法。）

3.练习：找出33和36的全部因数。

学生分别找出33和36的全部因数，教师组织学生进行汇报、订正并板书。

（三）归纳因数的特点

师：观察黑板上12、28、33和36的因数，有什么共同点？

生：它们的因数中都有1。

生：它们的因数中最大的都是自己。

师：想一想，其他数的因数也具备这个特点吗，为什么？

生：最小的因数一定是1，无论多少个小球，肯定都能1个、1个地数。

生：任何数都能写成1乘它本身，1是最小的，对应着它本身就应该是最大的。

（评析：此时分析一个数的因数特征，学生已经有了丰富的认知基础，“数球”活动和数轴，让“因数”这一概念变得更容易理解，更容易学会。）

三、练习

教师课件出示问题：用12个小正方形摆长方形，能摆出哪几种不同的长方形？（学生读题后，尝试完成，教师巡视）

师：这道题与因数有关系吗？

生：有关系，长方形的长、宽都是12的因数。

师：12的因数一共有6个，应该能摆出六种吧？

生：对，1×12、2×6、3×4、4×3、6×2、12×1，六种。

生：不对，应该是三种，3×4和4×3是一种。

生：（拿着自己画的图）这个长方形，这么看是4×3，转一下就是3×4了，其实还是同一个长方形。

师：这样画一画，大家一下子就明白了3×4、4×3是同一个长方形。以后在给别人讲道理或者自己解决问题时，也可以采取这样画图的方式。（结合课件演示）我们将图画得规范些会看到，一对一对的因数就是长方形的长、宽，我们在数轴上看到一对一对的因数距离越来越接近，画成的长方形就越来越像正方形。

（评析：“摆长方形”的活动也是帮助学生认识因数的直观形式，它与数轴相呼应，帮助学生感受到因数是“一对一对地出现”，只要有序地找，“一对一对”的因数就会越来越接近。这一活动让“找因数”“用因数”的过程变得更形象、更容易。同时，教师还注重点拨学生，当遇到想不清、说不明的问题时，选个直观的方式就能够很好地解决问题。让学生感受到了“直观”不仅仅是一种方法，也是一种表达方式。）

四、总结质疑

师：关于因数，你还有什么不明白或者想知道的吗？

生：更大的数也是这样一对一对地找因数吗？

生：为什么只有整数才有因数呢？

……

【总评】

通常“因数”与“倍数”两个概念是安排在一起教学的，重在揭示两个数之间因数和倍数的关系。而本课将“认识因数”单独作为一课时进行教学，主要原因在于学生真正理解“因数”是存在一定困难的，主要表现在两方面。第一，难在从“关系”的视角研究数，在教学本课之前学生都是独立地研究整数，而“因数”是对两个或几个整数之间“特殊”关系的研究，这种研究视角的改变造成了学生认知的困难；第二，难在形成对“方法”的结构化认识，虽然学生“找到因数”并不难，但有序、全面地找因数，并理解这样做的道理是存在困难的。然而这种理解又是非常有必要的，能为学生今后的学习奠定坚实基础。陈老师通过深入分析学生的认知需求，立足于对教材内容的活化与开发，将“认识因数”单独进行教学，这便可以有更充分的时间和空间，让学生经历感悟的过程，突破认知难点，进而建立概念，掌握方法。

课堂上，学生在教师的引导下，借助多种直观材料，层层深入地认识并理解数学概念、并在主动思考的过程中探寻方法。“直观”起到了积极的促进作用，让数学概念“更易于理解”，让数学思考“更有方法”，让数学变得“更容易学”，创造更适合儿童的数学教育。

（北京小学 100053）