直线与平面位置关系概念发展研究
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【摘 要】本研究采用纵向、横向比较方式,通过定量分析法研究初一、初二、初三、高一四个年级男女学生获得直线和平面垂直,直线和平面平行概念的直观水平、表象水平、抽象概括水平三个层次的特点,探索学生获得空间概念的规律。研究结论为:①直线与平面垂直概念发展特点:对于直线与平面垂直概念,初一、初二、初三、高一四个年级学生理解此概念属于直观水平的基本掌握阶段、表象水平的初步掌握阶段、抽象概括水平的未掌握阶段。四个年级男生总体和四个年级女生总体之间对概念理解不存在显著差异。②直线与平面平行概念发展特点:对于直线与平面平行概念,初一、初二、初三、高一四个年级学生理解此概念属于直观水平的基本掌握阶段、表象水平的基本掌握阶段、抽象概括水平的未掌握阶段。四个年级男生总体和四个年级女生总体之间对概念理解不存在显著差异。③对于直线与平面垂直及直线与平面平行两概念,学生的理解按照由具体到抽象过程发展。
【关键词】直线 平面 垂直 平行 概念发展
【中图分类号】O123.1 【文献标识码】A 【文章编号】1006-9682(2010)07-0022-05
【Abstract】This research studies the features of intuitive level, the image level and the abstract level of school boys and school girls’ attaining the concepts of straight line perpendicular to the plane and straight line parallel to the plane(from junior Grade 1 to senior Grade 1)through quantitative analysis by adopting vertical and horizontal comparison. The results of the study show that: ①The features of the development of the concept… ‘straight line perpendicular to the plane’: For this concept, the students of junior Grade1, Grade 2, Grade 3 and senior Grade 1are at the initial-grasping stage of intuitive level, the embryonic stage of image level and the non-grasping stage of abstract level. On understanding this concept, there aren’t significant statistical differences between school boys and school girls of the four grades as a whole. ②The features of the development of the concept…‘straight line parallel to the plane’: For this concept, the students of junior Grade 1, Grade 2, Grade 3 and senior Grade 1 are at the initial-grasping stage of intuitive level and image level, non-grasping stage of abstract level. On understanding this concept, there aren’t significant statistical differences between school boys and school girls of four grades as a whole. ③For these two concepts, the understanding of students advances from figurative thinking to abstract logical thinking.
【Key words】Straight line The plane Perpendicular Parallel Development of the concept
一、问题的提出
概念是人类思维的一种重要形式,是抽象逻辑思维的细胞结构。个体概念发展水平,反映其思维的发展水平,因此历史上关于概念发展的研究,一直受到重视。
数学概念的研究由数的概念开始(郑祖心,1960;沈家鲜,1962;许智权,1981;刘范,1981;林崇德,1981),接着研究面积等分(吕静,1983);长度(刘金花,1984);对称(沈家鲜,1989)、比例(苗丹民,1991)、特殊平面几何图形(陈英和,1999)等几何概念,再研究概率(张增杰,1983)、数列(沈家鲜,1984)、函数等概念(朱文芳,2000;曾国光,2002;贾丕珠,2004)。这些研究人员所考察的数学概念一般从简单到复杂,并且抽象程度日益提高。
上述研究过程都是从个体获得概念和应用概念角度出发,由低水平至高水平设计出不同认知层次的问题,采用横断或纵向的研究方式,对小学、初中、高中等不同年龄阶段的学生实施测试。根据学生回答问题的理由,区分出不同年龄学生不同的思维水平,探究学生思维发展规律。
虽然对不同的数学概念设置不同认知层次的题目,但对于不同的概念发展研究所得到的结论具有共同的特征,学生的思维发展过程符合皮亚杰(Jean Piaget, 1896-1980)的思维发展理论。皮亚杰认为儿童的认知发展表现为四个阶段:①感知运动阶段(从出生至两岁左右);②前运算阶段(2岁～7岁);③具体运算阶段(7岁～11岁左右);④形式运算阶段(11岁～15岁左右)。尽管已经对多个数学概念进行研究,但我们尚不清楚更为抽象的立体几何概念如直线和平面垂直、直线和平面平行概念的发展规律。我们通过对这两个概念发展特点的探究,可进一步研究学生思维认知规律,尤其是空间想象力的发展特征。
1.直线与平面垂直概念的发展
(1)研究方法
被试:北京市矿院附中初一、初二、初三、高一四个年级各随机抽取一班学生。
实验材料:将对直线与平面垂直的概念理解分三个水平,即直观水平、表象水平、抽象概括水平,根据这三个水平设置三个题目。所谓直观水平是指学生能按照外观从整体上识别直线与平面垂直的位置关系;表象水平是指学生能够从实物中抽取其空间形式,在头脑中形成直线与平面垂直的丰富图形表象,并用于判别空间位置关系;抽象概括水平是指学生能够在思维的抽象概括下确认直线与平面垂直的本质特征。
测试直观水平的题目为:由已知所给的八张图片选择反映直线与平面垂直的位置关系的图片。测试表象水平的题目为:判断正误,并说明理由。命题为“若直线与平面内的无数条直线垂直,则该直线与平面垂直”,测试抽象概括水平的题目为:判断正误,并说明理由。命题为“若直线与平面内的任意一条直线垂直,则该直线与平面垂直。”
实验程序:①先对各年级选一些人进行预测;②再对本校初一年级、初二年级、初三年级、高一年级各随机抽取一班,由主试控制下,全班被试统一进行试卷测试。
记分方法:考察直观水平题目答案有4张图片,每选对一张记1分,全部选错记0分;若学生获得满分4分,我们认为达到概念理解的直观水平。至于考察表象水平题目,学生判断正确或能正确画出线面垂直空间图形者记1分;若判断正确并说对理由者记2分;否则记0分。若学生获得满分2分,我们认为达到概念理解的表象水平。至于考察抽象概括水平题目,学生判断正确记1分;若判断正确并说对理由者记2分;否则记0分。若学生获得满分2分,我们认为达到概念理解的抽象概括水平。
数据采用spss统计软件进行分析。
(2)实验结果
如表1所示:各年级学生在三个题目上得分的平均成绩比较:
用多元方差分析统计方法发现理解直线与平面垂直这个概念的三个水平,即直观水平、表象水平、抽象概括水平,男女生在不同年级中存在交互作用。
2.直线与平面平行概念的发展
(1)研究方法
被试:北京市矿院附中初一、初二、初三、高一四个年级各随机抽取一班学生。
实验材料:我们将对直线与平面平行的概念理解分三个水平,即直观水平、表象水平、抽象概括水平,并根据这三个水平设置三个题目。其中,直观水平:学生能按照外观从整体上识别直线与平面平行的位置关系;表象水平:由实物抽取其空间形式,在头脑中形成直线与平面平行的丰富图形表象,并用于判别空间位置关系;抽象概括水平:在思维的抽象概括下,确认直线与平面平行的本质特征。
测试直观水平的题目为:由已知所给的八张图片选择反映直线与平面平行的位置关系的图片。测试表象水平的题目为:判断正误,并说明理由。命题为“若直线在平面外,则该直线与平面平行。”测试抽象概括水平的题目为:判断正误,并说明理由。命题为“若一条直线与平面没有公共点,则该直线与平面平行。”
实验程序:①先对各年级选一些人进行预测;②再对本校初一年级、初二年级、初三年级、高一年级各随机抽取一班,由主试控制下,全班被试统一进行试卷测试。
记分方法:考察概念理解的直观水平题目答案有4张图片,每选对一张记1分;全部选错记0分;若学生获得满分4分,我们认为达到概念理解的直观水平。至于考察表象水平题目,学生判断正确或能正确画出线面平行空间图形者记1分;若判断正确并说对理由者记2分;否则记0分;若学生获得满分2分,我们认为达到概念理解的表象水平。至于考察抽象概括水平题目学生判断正确记1分;若判断正确并说对理由者记2分;否则记0分。若学生获得满分2分,我们认为达到概念理解的抽象概括水平。
数据采用spss统计软件进行分析。
(2)实验结果
用多元方差分析统计方法发现理解直线与平面平行这个概念的三个水平,即直观水平、表象水平、抽象概括水平,男女生在不同年级中存在交互作用。
3.分析与讨论
此实验研究对象是初一至高一四个年级学生,他们未曾学习立体几何知识,我们的目的是研究这些学生线面垂直及线面平行两空间概念的自然发展特征。
(1)直线与平面垂直概念发展特征
首先,我们发现直线与平面垂直的概念发展特点如下:通过对四个年级学生直观水平、表象水平、抽象概括水平得分进行方差分析,结果(如表2所示)表明:直观水平(F(3,113)=0.849,p>0.05),表象水平(F(3,113)=0.277,p>0.05),抽象概括水平(F(3,113)=1.424,p>0.05)得分不存在显著的年级差异,因此得到结论为四个年级学生理解直线与平面垂直的概念在直观水平、表象水平、抽象概括水平三方面不存在显著差异。再如表1所示初一年级、初二年级、初三年级、高一年级学生理解此概念在直观水平方面总平均分3.2149,达到满分的75%。我们规定平均成绩达满分的75%～90%为基本掌握阶段,因此四个年级学生理解此概念在直观水平方面属于基本掌握阶段。测试表象水平题目满分为2分,我们认定平均成绩达满分的50%～74%为初步掌握阶段,四个年级学生在表象水平方面总平均分1.0496,达满分的50%以上,因此属于初步掌握阶段。测试抽象概括水平题目满分为2分,我们认定平均成绩达满分的25%以下为未掌握阶段,四个年级学生总平均分0.4545,平均成绩未达满分的25%,因此这些学生属于未掌握阶段。根据上述情况,得到结论为:初一至高一学生理解此概念属于直观水平的基本掌握阶段,表象水平的初步掌握阶段,抽象概括水平的未掌握阶段。从表3方差分析表中看出四个年级男生总体与四个年级女生总体之间对直线与平面垂直这一概念理解的直观水平、表象水平、抽象概括水平不存在显著差异。
其次,通过分析我们获得直线与平面垂直的概念发展的关键期:由上述结论看出,四个不同年级的学生理解直线与平面垂直的概念在直观水平、表象水平、抽象概括水平三方面均属于相同发展层次的低水平,这说明空间思维能力发展较晚,这与李洪玉博士研究结果一致。对于此概念理解的抽象概括水平这方面,如表1所示,高一学生抽象概括水平平均成绩(0.5122)高于初三年级(0.3462),这说明高一年级是直线与平面垂直概念发展的关键期。造成这种现象的原因,可能是初中生的思维形式以直观经验为主,抽象概括能力低,随着年龄增长,初中学生思维形式逐步过渡到高中阶段以理论型为主的抽象逻辑思维形式。
再者,我们探讨直线与平面垂直的概念发展的三个水平之间的关系特征如下:众所周知,认知操作是指发生于主体大脑内部的一种思维动作,它是按照一定的逻辑法则进行的,并可区分为不同的层次水平。本研究结果表明四个年级学生理解直线与平面垂直的概念经历三级水平,即直观水平、表象水平、抽象概括水平。第一步直观水平:学生能按照外观从整体上识别直线与平面垂直的位置关系,相应于这一水平的认知操作为首先注意观察反映线面垂直关系图片,感知它的基本特征,形成表象,贮存表象。第二步表象水平:学生从实物抽取其空间形式,在头脑中形成直线与平面垂直的图形表象,并用于判别位置关系。相应于这个阶段认知操作为在前一阶段认知操作基础上,对图片继续观察其特征,形成丰富的图形表象,接着贮存表象,初步概括出直线与平面垂直的特征,但这仅仅是感性的、直观的认识。如有的学生认为直线与平面成直角,则直线与平面垂直。第三步抽象概括水平:在思维的抽象概括下,找出直线与平面垂直概念的本质特征。相应于这一水平的认知操作为在上一阶段认知操作基础上,继续进行抽象概括,在思维的进一步分析归纳过程中,通过正反例证对图形进行归纳演绎,推出概念的内涵即直线与平面内任意直线垂直。
综上所述,在直线与平面垂直概念发展过程中任何一种水平的认知操作都呈不断传递状态,每一种包含于前一级水平中的操作形式都将传递到下一级水平中去。当学生关于直线与平面垂直概念达到直观水平较高层次时,表象水平才能提高,当学生头脑中储备丰富的表象之后,才容易找到概念的本质特征。这也就是学生优先发展直观水平,再发展表象水平,最后才逐步提高抽象概括能力的原因。它与儿童思维发展一般趋势(具体形象思维水平抽象逻辑思维水平)相符合。
另外,我们讨论直线与平面垂直概念发展的性别特征时,发现四个年级男女生理解此概念不存在显著差异。大多数研究证实,在空间观察能力、空间记忆能力和空间思维能力,即图形特征抽象――概括能力的水平上男女生不存在显著的性别差异。
(2)直线与平面平行概念发展特征
首先,我们发现直线与平面平行的概念发展特点如下:通过对四个年级学生直观水平、表象水平、抽象概括水平得分进行方差分析,结果(如表5所示)表明:直观水平(F(3,112)=1.210,p>0.05),表象水平(F(3,112)=0.887,p>0.05),抽象概括水平(F(3,112)=1.081,p>0.05)得分不存在显著的年级差异,因此得到结论为四个年级学生理解直线与平面平行的概念在直观水平、表象水平、抽象概括水平三方面不存在显著差异。再如表4所示,初一年级、初二年级、初三年级、高一年级学生在直观水平方面总平均分3.5417,超过测试直观水平题目满分4分的75%,因此四个年级学生理解直线与平面平行的概念在直观水平方面属于基本掌握阶段。测试表象水平题目满分为2分,四个年级学生在表象水平方面总平均分1.5917,平均成绩达满分的75%～90%,因此四个年级学生理解直线与平面平行的概念在表象水平方面属于基本掌握阶段。测试抽象概括水平题目满分为2分,平均成绩达满分的25%以下为未掌握阶段。初一、初二、初三、高一学生在抽象概括水平方面总平均分0.8667,稍微高于0.5分,因此这些学生理解直线与平面平行的概念在抽象概括水平方面属于未掌握阶段。我们根据上述情况,得到结论为初一、初二、初三、高一四个年级学生理解此概念属于直观水平的基本掌握阶段,表象水平的基本掌握阶段,抽象概括水平的未掌握阶段。从表6方差分析表中可看出四个年级男生总体和四个年级女生总体之间对此概念理解不存在显著差异。
其次,通过分析我们获得直线与平面平行的概念发展的关键期:由上述结论看出四个年级学生理解直线与平面平行概念在直观水平、表象水平、抽象概括水平不存在显著差异,但从表4可以看出初三年级学生理解直线与平面平行概念在抽象概括水平方面平均成绩较好(0.9615),超过初二年级平均水平(0.9130),这说明初三年级是直线与平面平行概念发展的关键期,其主要原因是初三学生空间认知能力总体水平开始发展。
再者,我们探讨直线与平面平行的概念发展的三个水平之间的关系特征如下:直线与平面平行的概念发展经历三个水平即直观水平、表象水平、抽象概括水平。第一步直观水平:学生能按照外观从整体上识别直线与平面平行的位置关系,相应于这一水平的认知操作为首先注意观察反映线面平行关系图片,感知它的基本特征,形成表象,贮存表象。第二步表象水平:学生从实物抽取其空间形式,在头脑中形成直线与平面平行的图形表象,并用于判别位置关系。相应于这个阶段认知操作为在前一阶段认知操作基础上,对图片继续观察其特征,形成丰富的图形表象,接着贮存表象,初步概括出直线与平面平行特征,但这仅仅是感性的、直观的认识。如有的学生认为直线在平面外,则直线与平面平行。第三步抽象概括水平:在思维的抽象概括下,找出直线与平面平行的本质特征。相应于这一水平的认知操作为在上一阶段认知操作基础上,继续进行抽象概括,在思维的进一步分析归纳过程中,通过正反例证对图形进行归纳演绎,推出概念的内涵即直线与平面无公共点。如上所述同直线与平面垂直概念一样,直线与平面平行概念的不同发展阶段对应于不同的认知操作,概念发展过程中任何一种认知操作总处于不断传递的状态中,并且每一种包含于前一级的操作形式都将传递到下一级水平中去,因此直线与平面平行概念直观水平、表象水平优先发展,最后才是抽象概括水平逐渐发展。它与儿童思维发展一般趋势(具体形象思维水平抽象逻辑思维水平)相符合。
通过将表1与表4中数据对照,发现四个年级学生理解直线与平面平行概念三个水平的平均成绩(3.5417,1.5917,0.8667)均高于他们理解直线与平面垂直概念三个水平的成绩(3.2149,1.0496,0.4545)。探究其原因,学生理解直线与平面垂直概念需要更多的空间想象参与,要求学生具有包括心理操作、旋转、翻转或逆转形象刺激物的能力,显然比理解线面平行概念难度大。
另外同直线与平面垂直概念一样,从表6可以看出四个年级男女生对于直线与平面平行概念的理解不存在显著差异。这再次说明在空间观察能力、空间记忆能力和空间思维能力,即图形特征抽象――概括能力的水平上男女生不存在显著的性别差异。
综上所述,学生理解直线与平面垂直的概念及直线与平面平行的概念都是按直观水平、表象水平、抽象概括水平三个层次逐步发展。这符合人们认识事物从具体到抽象、从特殊到一般的思维发展规律。从心理学的角度来看,这一过程就是我们首先依据直观经验在头脑中正确建构起客观事物的直观表象,再通过形象思维与抽象逻辑思维作用,最终获得对空间概念的本质特征的认识过程。因此,中学生通过学习空间概念,空间想象能力得到不断提高。
三、本研究对教学的指导意义
通过对学生掌握直线与平面垂直、直线与平面平行这两个概念发展特点研究,我们进一步掌握学生对空间概念的学习过程,探究了学生学习数学概念的认知规律。
由于数学概念本身具有高度的抽象性,数学概念教学具有具体――抽象――具体的特点。在教学中,如何体现具体――抽象――具体这一特点呢?
1.探讨从具体到抽象这一过程特点
相对于抽象,具体的东西就是感性材料,用教学术语讲“直观材料”。在数学教学中,直观的材料可以是模型、实物图片、实例等。如开始学习立体几何时,学生的空间想象力尚未建立,常常难以想象图形在三维空间中的情境,这时常常使用实物模型或图片,有时也让学生亲自去制作有关模型,从中发现一些几何特征。
应用直观材料时应注意以下几点:
(1)要有目的性,我们目的是要从具体材料中抽象出本质属性或内部关系,因此始终把握这个方向,不要为直观而直观。
(2)通过直观材料,在头脑中建立起有关事物的特征与联系,感觉、知觉、表象或观念,从而获得关于事物的一些具体的或感性的知识。在这种教学的直观过程中,学生只获得一些主观映像,即关于实际事物的感性知识,是事物的外表特征与联系的反映,是认识事物或领会知识的开端环节,它仅仅是提供一些所要掌握的概念与法则所必须的基础性的知识经验,若要建立起相应的概念与法则,则必须在这一基础上进行想象、思维和记忆等一系列表象思维过程。
(3)丰富的感性知识经验是正确掌握抽象理论的必要条件,但是在教学过程中所能提供的感性材料,总是在数量上具有一定的限制,因此教师在提供唤起学生的感性经验作为理解概念的基础时,必须较好地选择它们质的特点,并运用对象的变式规律,使它们在最大限度上反映得更全面真实。所谓对象的变式,是指在直观过程中要注意变换作为直观对象的具体实例,丰富学生的感性知识,变更对象的非本质要素,突出对象的本质要素,使学生易形成一般表象的必要条件。如前所述,针对大多数学生掌握直线与平面垂直及直线与平面平行两概念均属于直观水平的基本掌握阶段,表象水平的初步掌握阶段,在今后的教学中注重让学生在各种变化的位置及变化的形式下去辨别图形特征,课上加强正例和反例的综合应用,这样做有利于让学生建构起反映两个空间概念本质特征的定义。由于概念的形成要经历从具体到抽象、特殊到一般的过程,我们按照这样的具体形式进行教学,可以更好地发展学生空间想象力,提高学生的形象思维水平。但是如果材料选择不合适,感性材料存在着片面性特点,那么在学生理解和掌握概念时就有可能出现错误,即有可能在思维中不合理地扩大了概念的外延或缩小了概念的外延。
综上所述,根据学生认知规律,我们在讲授概念时,必须使学生积累丰富的感性材料,充分发挥学生的全部知识和经验,从个别范例中抽出一般特征,也就是抽象出概念。因此我们选择感性材料要力求全面典型。另一方面,在运用感性材料时,注意变式规律,使所取例子充分发挥它们的作用,使学生易形成正确的概念。即,在感性材料选择与运用时,我们要注意正确处理个别与一般关系。
2.讨论从抽象到具体这一过程特征
作为学生掌握概念过程来说,仅仅由具体到抽象、由感性认识上升到理性认识是不够的,为加深对知识的理解,还要把所学的知识应用到同类问题中,从而去检验和深化抽象的概念,从中学到必要的技能与技巧,这个过程实际上是抽象到具体的过程。从逻辑意义上讲,具体事物抽象化是归纳过程,抽象知识的具体化,则是演绎过程。从思维过程内容方面而言,具体事物抽象化在于通过对同类具体事物分析,分别抽出这类事物本质特征,从而形成这类事物的概念。抽象知识的具体化,则在概念本质特征指引下去分析具体事物,从中确定这些具体事物是否具有一系列特征。因此,概念的获得与概念的应用是掌握概念两个不同阶段,为此,教师通常依据教材要求,向学生布置习题作业,使学生依据所学概念去辨认同类的有关事物,或者解决、说明同类事物有关现象或是去完成相应操作等。
总之,抽象性与具体性相结合的原则,即具体――抽象――具体的原则,在数学概念教学中应用很广泛。我们在今后的教学设计中会更加有意识地注意这一规则的应用,不断提高自身教育教学水平,从而发展学生的思维能力,提高学生的学业水平,进一步达到开发学生智力、培养当代高素质人才的目的。
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