以各向同性材料为面板的木材夹层板在横力弯曲时的内力
开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇以各向同性材料为面板的木材夹层板在横力弯曲时的内力范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！
【摘 要】 本文研究以各向同性材料为面板的木材夹层板在横力弯曲时的内力，得出该种夹层板的横截面上的切应力的数学表达式。所得出的数学表达式为解析解。通过夹层板的三点弯曲试验检验该理论。研究出的结论可以应用到推导该种夹层板在各种外力作用下的承载能力的数学表达式。
【关键词】 木材 各项同性材料 夹层板 切应力 芯子 面板 横力弯曲
1 引言
工程中用到夹层板时，就要验算夹层板的承载能力，或者根据夹层板的承载能力要求来设计夹层板，以保证结构的安全性。因此在验算或设计之前，应该得到计算夹层板的承载能力的数学表达式。在推导夹层板的承载能力的数学表达式之前，应该得到夹层板横截面上内力的数学表达式。关于夹层板横截面上的正应力的数学表达式，笔者已经在《一种木材夹层板的抗弯承载能力》中推导出来了。如果要进一步研究夹层板，就要求解出横截面上的切应力的数学表达式。本文研究以各向同性材料为面板的木材夹层板的横截面上的切应力，并得出计算式子。
2 本文的研究对象
本文研究以各向同性材料为面板、以木材为芯子的木材夹层板。如图1所示。芯子为夹层板的中间层，厚度为h1，材料为正交各向异性材料，木材纤维的方向均平行于坐标轴x方向。面板紧贴于芯子上下表面，厚度均为h2，材料为各向同性材料，比如金属、树脂。因为夹层板的芯子由一定宽度的木板拼凑而成，所以夹层板只能是单向板，即夹层板在z方向不受力。夹层板的跨度为L。夹层板的宽度为B，为了便于计算，取单位宽度的夹层板研究，即B=1。在实际工程中，夹层板的各层之间会使用粘胶，假设粘胶足够牢固，在芯子和面板失效之前夹层板不会脱胶。但在实际工程中，我们很难控制粘胶的质量，通常会出现在芯子和面板失效之前夹层板局部脱胶的现象，因此实际工程中会采用构造措施以防止局部脱胶影响到整体的承载能力（如添加铆钉固定，这样即使局部脱胶了，铆钉可以代替承担那部分的剪力）。
3 夹层板的横截面上的剪切应力
在夹层板逐渐加载的过程中，当芯子或面板达到极限强度时，芯子或面板就会失效。这里所说的失效，是指某一层达到容许的最大应力，该层就不起作用了。但夹层板的各层通常不会同时失效，而是一层一层地失效，直到最后一层承担不了全部的外力，夹层板完全破坏。而事实上，一旦有一层失效了，其他层就会迅速随之失效。这是因为，既然三层一起都承受不了这么大的荷载，何况还缺了一层。我们可以认为首先有一层失效时，夹层板承受的外力为极限承载力。
本章的部分想法来源于《材料力学》和《复合材料力学》。
如图2所示，夹层板受到任意横向荷载作用。以m-m和n-n为两横截面取出长为dx的一段，通常两横截面上的弯矩不相等，因此两横截面同一y坐标处的正应力也不相等。再用平行于中性层的纵截面AA1B1B假想地从夹层板上截出体积元素mB1，如图3a，b所示，则在端面mA1和nB1上，与正应力对应的法向内力也不相等。为了维持体积元素mB1的平衡，在纵面AB1上必有沿x方向的切向内力，因此在纵面上就存在相应的切应力τ’，如图3a所示。
假设横截面上各点处的切应力均与侧边平行，横截面上距离中性轴等远各点处的切应力大小相等。设在图2中距离左端为x和x+dx处横截面m-m和n-n上的弯矩分别为M和M+dM，两截面上距离中性轴为y处的正应力分别为σ1和σ2，于是可以求得两端面上的法向应力。令当AB1面处于芯子位置时两端面上的法向应力FN11和FN12，当AB1面处于上面板位置时两端面上的法向应力FN21和FN22，当AB1面处于下面板位置时两端面上的法向应力FN31和FN32，如图3b所示。
3.1 下面板横截面上的切应力
（3-2）式来源于笔者的《一种木材夹层板的抗弯承载能力》中的（3-19）式。
（3-5）的来源与本文（3-2）式的来源相同，只不过把M换成了M+dM。
在下面板的纵截面AB1上由所组成的是切向内力，如图3-2b所示。已知横截面上距离中性轴等远各点处的切应力大小相等，又根据切应力互等定理，可知在纵截面上横线AA1各点处的切应力的大小相等。在dx长度上，即使有变化，其增量也是一阶无穷小，可略去，因此可认为在纵截面AB1上为一常量。于是有
把（3-1）式、（3-4）式、（3-6）式代入平衡方程
因为，所以（3-8）式化为
由切应力互等定理得到
其中Fs是夹层板横截面上的剪力；h1是芯子的厚度；h2是面板的厚度。
3.2 芯子横截面上的切应力
其中
（3-12）式来源于笔者的《一种木材夹层板的抗弯承载能力》中的（3-17）式。
其中
其中
（3-15）式的来源与本文（3-12）式的来源相同，只不过把M换成了M+dM。
在芯子的纵截面AB1上同样有
把（3-11）式、（3-14）式、（3-16）式代入平衡方程
因为，所以（3-18）式化为
由切应力互等定理得到
3.3 上面板横截面上的切应力
（3-22）式来源于笔者的《一种木材夹层板的抗弯承载能力》中的（3-18）式。
其中
（3-25）的来源与本文（3-22）式的来源相同，只不过把M换成了M+dM。
在上面板的纵截面AB1上同样有
把（3-21）式、（3-24）式、（3-26）式代入平衡方程
因为，所以（3-28）式化为
由切应力互等定理得到（3-30）
3.4 夹层板横截面上的切应力的表达式
整理（3-10）式、（3-20）式、（3-30）式得到
将（3-3）式、（3-13）式、（3-23）式代入（3-31）式得到
可以将（3-32）写成
4 轻木夹层板的三点弯曲试验
本章采用以钢板为面板、以轻木为芯子的夹层板的三点弯曲试验来检验前面几章的观点。本章执行国家标准《GB/T1456-2005夹层结构弯曲性能试验方法》。
4.1 试验主要采用的仪器、设备和材料
包括：岛津万能试验机一台，轻木夹层板试样若干。其中轻木夹层板的芯子采用轻木，面板采用Q235钢板。轻木夹层板的宽度均为60mm。本次试验采用的轻木夹层板的尺寸和材料性质见表1。
4.2 轻木夹层板在三点弯曲试验中的承载能力
所谓的三点弯曲，如图4所示，单向板两端简支，跨度为l，跨中正中受到集中力P的作用。
由《结构力学》可知，跨中正中受到的弯矩最大，整个单向板受到的剪力均相等，因此跨中正中为最大危险点。跨中正中受到的弯矩和剪力分别为
夹层板在弯矩M的作用下，横截面上的正应力为
（4-3）式来源于笔者的《一种木材夹层板的抗弯承载能力》中的（3-17）式、（3-18）式、（3-19）式。（4-3）式可以写成
其中
将（4-1）式代入（4-4）式得到
将（4-2）式代入（3-33）式得到
根据希尔-蔡（Hill-S.W.Tsai）强度理论，有
其中为材料在x方向的正应力强度，为材料在y方向的正应力强度，为材料在x方向或y方向的切应力强度。
为了简化计算，假设可以忽略跨中正中位置的集中力对夹层板的直接影响，即认为，于是（4-7）式变为
将（4-5）式、（4-6）式代入（4-8）式，解方程得到夹层板在三点弯曲试验中的承载能力表达式
对（4-9）式求各层极值点
芯子的极值点
上面板的极值点
下面板的极值点
又根据夹层板的尺寸构造得到各层的边值点
芯子的边值点
上面板的边值点
下面板的边值点
将表1中的参数代入（4-10）式、（4-11）式、（4-12）式、（4-13）式、（4-14）式、（4-15）式得到关于（4-9）式的极值点和边值点，见表2。
可见，无论是哪个试样，除了芯子关于（4-9）式的极值点y=0在该层的截面上，其余极值点均不在各自层的截面上。因此考察的点有五个点。将表1的参数和这五个点的值代入（4-9）式，得到这五个点关于荷载P的承载能力值，见表3.
4.3 夹层板的承载力的计算值与试验结果对比
表3的计算结果和试验结果对比，即60mm宽度夹层板Pu平均值（N）与试验值Pu的平均值（N）的对比，见图5和图6。
可以看到，夹层板的极限承载力的计算值与试验结果是有一点差距的，但是趋势是相同的，计算值与试验结果的差距并不算大。总的来说，该试验间接地证明了（3-32）式和（4-3）式在目前范围是适用的。
5 结论
本文推导出了用于计算以各向同性材料为面板的木材夹层板的横截面上的剪切应力的数学表达式，并推导出该种夹层板在三点弯曲状态下的承载能力的数学表达式。本文提供的数学表达式可以应用于推导该种夹层板在各种外力作用下的承载能力的数学表达式。本文为后续研究提供依据。
参考文献
[1]孙训方，方孝淑，关来泰.材料力学（Ⅰ）.北京：高等教育出版社，2002
[2]沈观林，胡更开.复合材料力学.北京：清华大学出版社，2006
[3]中华人民共和国国家质量监督检验检疫总局.中国国家标准化管理委员会.中华人民共和国国家标准GB/T1456-2005夹层结构弯曲性能试验方法.北京：中国标准出版社，2005
[4]李涛.韦斌凝.一种木材夹层板的抗弯承载能力[J].科技资讯，2013
[5]龙驭球.包世华.结构力学（Ⅰ）.北京：高等教育出版社，1996