比例失效率模型和乘积形式反脆弱模型的相关研究(全文)

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摘要:讨论了比例失效率模型的一些随机序关系, 并分别讨论了一维乘积形式反失效率脆弱模型的一些年龄性质和随机序关系.

关键词:PRH模型;乘积形式反失效率脆弱模型; 随机序; 年龄类

中图分类号:O211.67

文献标识码:A文章编号:1672-8513(2010)01-0010-06

A Study of the Proportional Hazard Rate Model

and Added Reversed Hazards Frailty Model

XU Zi

(School of Mathematics and Information Science，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China)

Abstract:

Closure properties of a few aging classes and those of partial orders in the proportional reversed hazards model are discussed. Then, some properties of the reversed hazards univariate frailty model related to reliability analysis are investigated. Closure properties of a few aging classes and those of partial orders in the reversed hazards uni-variate frailty model are also discussed.

Key words:PRH model；added reversed hazards frailty model; stochastic order; aging class

0 引言

众所周知,Cox(1972)对指数分布进行一般化处理,提出了比例失效率模型(PRH),此模型的具体形式为:设X和Y为2个绝对连续具有有限均值的非负随机变量,当t≥0时,若X和Y的生存函数F(t)和G(t)满足F(t)≥Gc(t)成立,其中c＞0且为常数.此模型在进行可靠性分析时被广泛应用,但其具体的随机序关系还没有人涉及.

此后Vaupel 等［1］对于比例失效率模型进行了更一般化的推广,介绍了乘积形式比例失效率脆弱模型.学者们对此投入了相当多的精力［2-6］.接下来Sankaran等［7］介绍了当(T1,T2)为2个相关个体,且反失效率函数τi(Vi)满足τi(Vi)=Viτ0i(ti)的二维比例乘积形式反失效率脆弱模型,其中Vi是脆弱随机变量.又由于比例反失效率脆弱模型有很多不同的具体形式,根据具体形式的不同,他们的年龄性质和满足的随机序关系会有所不同.在此之前本文作者曾对一维相加形式反失效率脆弱模型的年龄性质和随机序关系进行过讨论.本文将讨论比例失效率模型的随机序关系和一维乘积形式反失效率脆弱模型的年龄性质和随机序关系.

1 基本记号及预备知识

定义1.1 非负绝对连续的随机变量X和Y,其分布函数、生存函数和密度函数分别为F(x),F(x),f(t),G(t),G(t),g(t).以下定义在各序下X,Y的大小关系［8］.

(i) 普通随机序，定义为X≤stY,若关于t都有F(t)≤G(t);

(ii) 失效率序，定义为X≤hrY,若G(t)F(t)关于t递增;

(iii) 反失效率序，定义为X≤rhY,若G(t)F(t)关于t递增;

(iv) 似然比序，定义为X≤lrY,若g(t)f(t)关于t递增,

X≤lrYX≤rhYX≤stY, X≤lrYX≤hrYX≤mrlY.

定义1.2 设随机变量X,Y在似然比下正相依,若他们的联合密度为φ(x,y),当x1≤x2,y1≤y2时,φ(x1,y1)φ(x2,y2)≥φ(x1,y2)φ(x2,y1)成立.

定义1.3 在0

有以下等价结论:

(i)实值函数f(t,v)在［0,∞)×［0,∞)上为RR2(TP2);

(ii) f(t,v1)/f(t,v2)在t>0,0

(iii)2tvlnf(t,v))0;

(iv) f(tv)或f(vt)是RR2(TP2),这里f(tv)或f(vt)为条件密度.

徐孜：比例失效率模型和乘积形式反脆弱模型的相关研究

2 比例失效率模型及其随机比较

令随机变量X1,X2,Y1和Y2分别具有生存函数F1(t),F2(t),G1(t)和G2(t),密度函数f1(t),f2(t),g1(t)和g2(t).假设X1和Y1，X2和Y2服从下面的比例失效率模型 .

F1(t)=G1c(t),(1)

F2(t)=G2c(t),(2)

其中X1,X2和Y1,Y2相应的失效率函数分别为r1*(t),r2*(t)和r1(t),r2(t).

定理2.1 设X1和Y1，X2和Y2满足式子(1)和式子(2),则

(i) 当且仅当Y1≤stY2时,X1≤stX2;

(ii) 当且仅当Y1≤hrY2时,X1≤hrX2;

(iii) 若Y1≤rhY2,且c>1,则X1≤rhX2;

(iv) 若Y1≤lrY2,且c>1,则X1≤lrX2.

证明有关(i)和(ii)的证明较简单,这里不再赘述.

(iii) 由于r*i(t)=ri(t)σi(t),i=1,2,这里σ*i(t)=cGc－1i(t)Gi(t)1－Gci(t),i=1,2.

则r*2(t)－r*1(t)=r2(t)σ2(t)－r1(t)σ1(t).由Y1≤rhY2，得r2(t)≤r1(t),t≥0和G2(t)≥G1(t).

当c>1时,定义函数η(p)=pc－1－pc1－pc,p∈(0,1),由于当p∈(0,1)时η(p)递增,则

σ2(t)－σ1(t)=c［η(G2(t))－η(G1(t))］≥0,则，r*2(t)≥r*1(t), 即X1≤rhX2.

(iv) f2(t)f1(t)=cGc－12(t)g2(t)cGc－11(t)g1(t)=G2(t)G1(t)c－1g2(t)g1(t).

由Y1≤lrY2得g2(t)g1(t)和G2(t)G1(t)关于t递增,即X1≤lrX2.

3 乘积形式反失效率脆弱模型

乘积形式反失效率脆弱模型设τ(t,V)为关于时间t的随机反失效率函数,这里V称为脆弱随机变量,且为时间T的条件.τ0t为与v独立的随机变量的反失效率函数,当V=v时, 关于T的条件分布函数及条件密度函数分别为:F(t|v)=P［T≤t|V=v］=Gv(t)和f(t|v)，当V=v时关于T的条件反失效率函数为

τ(t|v)=f(t|v)F(t|v)=vτ0t，

设h(v)为V的密度函数,则关于t的无条件密度函数和分布函数分别为f(t)=∫∞0f(t|v)h(v)dv和F(t)=∫∞0F(t|v)h(v)dv,则总体随机变量的反失效率函数为

τ*(t)=f(t)F(t)=ddtln F(t),t>0

若G(t)为基分布函数,V为绝对连续的脆弱随机变量,其密度函数为h(v),则总体随机变量T的分布函数为

F(t)=∫∞0Gv(t)h(v)dv, t>0.

3.1 乘积形式反失效率脆弱模型的性质

定理3.1.1 公用的反失效率为:τ*t=EV |T≤t(τ(t|v)).

证明 τ*(t)=∫∞0f(t|v)h(v)dvF(t) =∫∞0τ(t|v)h(v|T≤t)dv.(3)

其中h(v|T≤t)=ddvP［V≤v,T≤t］P［T≤t］ =ddv∫v0F(t|u)h(u)duF(t)=F(t|v)h(v)F(t),t>0,v>0,

证明结束.

定理3.1.2 T,V在似然比下正相依.

证明 T,V的联合概率密度函数为

f(t,v)=vτ0(t)Gv(t)h(v), x,v≥0,

其中,h是V的概率密度函数.由v2≥v1≥0,［G(t)］v2－v1关于t递增,由此得到当t2≥t1≥0时,Gv2(t2)Gv1(t1)≥Gv1(t2)Gv2(t1).则，当v2≥v1≥0,t2≥t1≥0时,

f(t2,v2)f(t1,v1)≥f(t2,v1)f(t1,v2)

则T,V似然比下正相依.

定理3.1.3 设Xi,i=1,2满足式(1),且G1(t)≥G2(t),t≥0.若Fi(t)和Gi(t)的反失效率函数分别为和τi(t)满足式(2),则τ1*(t)τ1(t)τ2*(t)τ2(t).

证明 τi*(t)τi(t)=E(V|Xit),i=1,2.若V的密度函数为h(v),则给定Xi≤t时,V的条件密度函数为P(i)t(v)={Gi(t)}vh(v)∫∞0{Gi(t)}wh(w)dw,v>0,则

P(1)t(v)P(2)t(v)=G1(t)G2(t)vk(t),v>0，

这里k(t)不包含变量v.由G1(t)≥G2(t),则当v>0时似然比Pt(1)(v)/Pt(2)(v)递增.即E(V|X1≤t)≥E(V|X2≤t),证明结束.

定理3.1.4 若T与V的联合密度为f(t,v),且为TP2,则

(i)V关于T左尾随机递增,即当t>0时,H(v|T≤t)是递增函数.

(ii)T关于V左尾随机递增,即当v>0时,F(t|V≤v)是递增函数.

在证明过程中我们用到联合密度.令f(t,v)为联合密度,且在t∈R,v∈A上为TP2函数,令hi(v)是关于v的密度函数,且hi(v)在{1,2}×A上是TP2,则φi(t)=∫Af(t,v)hi(v)dv,在{1,2}×［0,∞)上是TP2.相关证明,参见文献［9］.

定理3.1.5 T以V为条件随机左尾递增,则当v>0时,F(t|v)为递增函数.

证明 f(t|v)=v［G(t)］v－1g(t)=vτ0(t)［G(t)］v.若0

证明 ddtH(v|T≤t)=∫v0ddtF(t|u)h(u)duF(t)－f(t)(F(t))2∫v0F(t|u)h(u)du=

设A(v)=∫v0τ(t|u)F(t|u)h(u)du∫v0F(t|u)h(u)du,

当uτ(t|u),则ddvA(v)>0.即当v>0时,A(v)关于v递增,证明结束.

定理3.1.7

τ(t|v)=vτ0(t)关于v递增,则E(V|T≤t)关于t>0递增.

证明

3.2 一维乘积形式反失效率脆弱模型的随机序关系

定理3.2.1若V2≤lrV1,且τ(t|v)=vτ0(t)关于v递增,则T1≤rhT2.

证明由等式(3)得

τ1*(t)-τ2*(t)=∫∞0τ(t|v)［h1(v|Tt)-h2(v|Tt)］dv=

∫∞0ddvτ(t|v)［H2(v|T≤t)－H1(v|T≤t)］dv>0,V>0

由于τ(t|v)=vτ0(t)关于v递增且V2≤lrV1,证明结束.

定理3.2.2 τ(t|v)=vτ0(t)关于v递增,则V|T≤t2≥lrV|T≤t1, 0

由于τ(t|v)=vτ0(t)关于v递增,则h(v|T≤t2)h(v|T≤t1)关于v递增.即有关V|T≤t的一组随机变量在似然比下关于t>0递增,证明结束.

定理3.2.3 若V1和V2分别是2个不同的脆弱随机变量,且V2≤lrV1.当τ(t|v)=vτ0(t)关于v递增,则V2|T≤t≤lrV1|T≤t.

对于V2|T分布来所,g(v)为权且递减,又令随机变量V1,V2的密度函数为h1(.),h2(.),其中g(v)为关于v的减函数时h2(v)=g(v)h1(v)∫∞0g(v)h1(v)dv,则V1≥lrV2 . 证明结束.

定理3.2.4 若V1≤lrV2,则T1≤lrT2.

证明由定理3.15知f(t|v) 为TP2.由V1≤lrV2得到h2(v)/h1(v)为关于v>0递增.图(i,v)hi(v)在{1,2}×［0,∞)上是TP2.若f(t|v) 在［0,∞)×［0,∞)范围内是TP2,经变换得在{1,2}×［0,∞)上(i,v)fi(t)为TP2,其中fi(t)=∫0∞f(t|v)hi(v)dv 当t > 0时,f2(t)/f1(t)为增函数,即T1≤lrT2.

定理3.2.5 若V1≤rhV2,且τ(t|v)=vτ0(t)关于v递增,则T1≥rhT2.

证明若V1≤rhV2,则当v>0时H2(v)/H1(v)关于v递增,等价于在{1,2}×［0,∞)上(i,v)Hi(v)为TP2,且τ(t|v)=vτ0(t)关于v递增,得到当［0,∞)×［0,∞)时,F(t|v)为RR2,且F(t|v1)≥F(t|v2),v10时F2(t)/F1(t)递减,则τ*1(t)≥τ*2(t),即T1≥rhT2.

定理3.2.6 若V1≤stV2,且当v>0时F(t|v)=［G(t)］v关于v递减,则T1≥stT2.

证明 F2(t)－F1(t)=∫∞0F(t|v)［h2(v)－h1(v)］dv=∫∞0ddvF(t|v)［H2(v)－H1(v)］dv

由于v>0时F(t|v)=Gv(t)递减且H2(v)≤H1(v),则当v>0时有F2(t)－F1(t)≥0,即T1≥stT2,证明结束.

定理3.2.7 若V1≤rhV2,且当v>0时F(t|v)=G(t)v关于v递减,则T2≤stT1.

证明由定理3.2.6得到不再赘述.

定理3.2.8若Y1≤stY2则T1≤stT2

证明若Y1≤stY2,则G1(t)≥G2(t).则当v≥0时G1v(t)G2v(t),由于

F2(t)-F1(t)=∫∞0(Gv2(t)-Gv1(t))h(v)dv0,则F2(t)≤F1(t),即T1≤stT2.

基于反失效率脆弱模型的多样性,对于其它形式的性质和随机序关系还有待于进一步探讨.

参考文献:

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比例失效率模型和乘积形式反脆弱模型的相关研究

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