《幂函数》说课

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一、教材

1.教材的地位和作用

学生在初中已经学习了简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识。现在明确提出幂函数的概念，有助于学生建构完整的知识结构。教材把幂函数安排在指、对函数之后，在学习与探究过程中可体现类比的学习方法，使学生进一步体会并理解研究基本初等函数的一般思路。

2.教学目标

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：

（1）知识目标：①了解幂函数的概念，会画幂函数的图象；②会用幂函数的图象和性质解决问题。

（2）能力目标：使学生体会通过观察、分析函数图象来研究函数性质的方法。

（3）情感态度与价值观：通过引导学生主动参与作图、分析图象的过程，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点。

3.教学重点与难点

重点：幂函数的概念、图象和性质。难点：将函数图象的直观特点上升到理性认识，归纳、概括函数的性质。

二、教法

1.学生的学情介绍

学生初中学习了三个具体的幂函数，并且会用列表—描点—连线法作图，对图象有一定的感性认识。学生会求三个具体幂函数的定义域及单调区间。掌握了指、对函数，了解了研究函数的一般思路与方法。

2.教学方法

根据学情，笔者重点采取“任务教学法”，辅以启发式和讨论式教学法。所谓任务式教学法，是教师把教学内容设计成一个或几个具体任务，让学生完成一个个具体任务，掌握教学内容，达到教学目标。

三、学法

结合本节课的特点和学生学情，决定指导学生采取以下学法：（1）兴趣学习法；（2）小组合作学习法；（3）探索归纳学习法；（4）建构学习法。

四、教学过程

（一）教学任务

首先向学生展示本节课的主要任务：

任务1：总结幂函数的定义。

任务2：总结五个基本幂函数的图象与性质。

任务3：总结幂函数的图象与应用。

任务4：应用幂函数的定义、图象与性质。

教学任务最终要达到理解幂函数的定义、应用图象与性质解题的目的。

任务1

总结幂函数的定义，设置了如下两个分任务：

分任务1：求函数解析式。

分任务2：总结共同特征。

因为这几个问题来源于实际生活，学生比较感兴趣，而且学生前面已经会求函数的解析式了，故把这个任务交给学生完成，然后教师订正答案，让学生小组合作交流它们的共同特征，由此得到幂函数的定义。在这个过程中培养了学生的观察、归纳和概括能力。紧接着设置了两个练习题:

1.你能根据幂函数的定义判断下列函数是否是幂函数吗?

（1）y=x4； （2）y=■； （3）y=-2x2；(4)y=x■；

（5）y=2x； （6）y=x3+2； （7）y=■。

2.若幂函数的图象过点，则解析式为__________

第一题（5）设置的原因是学生容易混淆指数函数与幂函数，直接提出这个问题，学生可能印象不深刻，在这儿以题带点，帮助学生加深对幂函数定义的理解。

任务2

总结基本幂函数的图象与性质，设置了如下两个分任务:

分任务1：画五个具体幂函数图象。因为初中时学生就学习了用列表—描点—连线的方法画图，故在这里让学生试着完成，并且能通过作图训练学生的动手实践能力，为下面的学习提供丰富的直观材料。接着教师借助几何画板展示，一是给学生订正答案，二是使学生体会到现代技术在数学认知过程中的作用。

分任务2：总结五个具体幂函数性质。教师在黑板上给出表格。

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让学生根据多媒体大屏幕上的图象小组交流以下两个方面：（1）表格第一列填什么内容，主要是启发学生用类比的方法研究函数（2）表格的其它内容怎么填，让学生回顾前面学过的求函数的定义域、值域；判断函数奇偶性的方法，及时巩固旧知。

填完之后提问：这五个函数的性质有哪些共同点？小组交流，教师引导学生总结定义域、单调性方面的共同点，为接下来探索归纳幂函数性质做准备。

任务3

总结幂函数图象与性质，是本节课的难点,突破难点主要借助了几何画板这一现代技术。

这个阶段教师首先设置好几何画板，给学生演示y=xa当a 取不同的值时图象的变化过程，引导学生重点观察第一象限的图象，紧接着在屏幕上展示出a>0，a

分任务1：画出幂函数在第一象限的草图。

分任务2：应该重点研究函数的哪些性质?

分任务3：a>0，a

分任务4：当幂指数为正偶数、正奇数时函数具有哪些重要的性质？

在这儿，让学生充分交流与合作，完成这四个任务，培养学生自主探索、合作学习的习惯。由于是开放性问题，所以答案不唯一，可有效训练学生的发散思维能力。但是发散后要及时收回，引导学生归纳出幂函数在第一象限的图象及幂函数性质。同时培养学生的看图、析图能力及归纳概括能力，并且建构出研究函数的一般方法。

任务4

举例应用幂函数的定义、图象与性质。

例1 已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3，m为何值时，f(x)为：（1）幂函数；（2）一次函数；（3）反比例函数；（4）二次函数？

该题设计意图：这个例题第1小题主要是让学生进一步理解幂函数的定义，继续强化系数为1。接下来第2、3、4小题，可以提问学生正比例、反比例、二次函数都是幂函数吗？让学生会区分幂函数与其他函数。

该题难点突破：幂函数定义。

例2 （1）讨论函数f(x)=x■的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的增减性；（2）点(■，2)在幂函数f(x)的图象上，点（-2，■）在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，f(x)=g(x)；f(x)>g(x)；f(x)

该题设计意图：本题设计了两个小题，第一题是课本例题，先让学生求函数的定义域、判断函数的奇偶性，层层递进，引导学生画出函数图象。讲完这个题之后，可以总结一下作幂函数图象的一般方法，首先根据“正抛物，负双曲；大竖立，小平铺”的口诀，画出第一象限的草图，接着求函数的定义域和判断奇偶性，近而做出整个函数的草图，掌握了这一知识点在解决数形结合问题时很有效。第二题是第一题的变式延伸，达到了举一反三的效果。

该题难点突破：待定系数法、数形结合。

例3 （1）比较下列两个代数式值的大小

①（1+a）1.5，a1.5 ②（2+a2）■，2■

（2）设a=(■)■，b=（■)■，c=（■)■，试比较a、b、c的大小关系。

该题设计意图：因为学生直接完成第二题有困难，故设置第一小题，分解难点，先让学生想到要通过构造函数解决问题，进而再选择函数模型，主要是培养学生构造幂函数和指数函数模型的能力，并利用单调性分析问题、解决问题。

该题难点突破：选择函数模型。

（二）练习任务

根据学情分层教学，设置了基础训练题组。

1.在函数y=■，y=3x2，y=x2-x，y=x0中,幂函数的个数为 。

2.幂函数f(x)的图象过点（2，■），则f(x)解析式为 。

3.若幂函数f(x)=xm-1在（0，+∞）上是减函数，则m的取值范围为 。

4.在下列函数：①y=x■；②y=x■；③y=x■；④y=x-2；⑤y=x2中，定义域为R的函数有 个．

针对成绩好的学生，设能力提升题组。

1.如果幂函数f(x)=xa的图象经过点（2，■），则f(4)的值等于 ．

2.当x∈（1，+∞）时，函数y=xa的图象恒在直线y＝x的下方，则a的取值范围是 ．

3.函数y=x■是偶函数，且在（0，+∞）是减函数，则整数a的值是 。

4.已知整数m满足-3≤m≤3，幂函数y=xm的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，则m= ．

为了拉近与高考距离，设感受高考题组。

（2008年）1.设α∈{-1，1，■，3}，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为 ．

（2011年）2.函数y=x■的图象是（ ）

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使学生能巩固并自觉运用所学知识与解题思想方法，将所学知识提升到高考的高度。

（三）小结

先找一名学生小结本节课的知识，找其他同学补充，最后在教师的引导完成。使学生逐步让成爱总结、善总结、会总结的习惯和能力。

五、检测

为了更好地落实本节课的内容，还设计了课后小测反馈学情，以便及时发现学生存在的其他问题，利于下一步改进。

总之，我们要想尽一切可行的方法帮助我们的学生变成展翅翱翔的雄鹰。