目标约束性优化的可靠性分析方法概述

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摘 要：本文介绍了Low & Tang提出的可靠度优化求解的方法，并将此可靠度优化的方法与工程总造价联系起来，达到工程造价最小化的目的。该方法适用于任何概率分布类型和随机变量具有相关性和不相关性的情况，不必计算当量正态均值和方差、相关变量独立变换，直接在变量的原始空间内搜索最可能失效点，求解方法简洁明了。并与工程实际造价相联系，使其在满足可靠性的基础上达到工程造价的经济最优化。

关键词：可靠度；可靠性分析；优化求解；经济最优化

中图分类号：TU2文献标识码： A

引言

本文是利用Excel平台对相关非正态变量作为随机分布问题的可靠性分析。主要利用了一次可靠度方法中的等效正态变换，相关矩阵并没有进行正交变换，功能函数则在单元格中利用Excel中自带的函数进行表示。在进行正态变换时作者Low和Tang[1]根据变量不同的分布情况，利用VBA编写通用的程序代码，以实现多变量多参数问题的可靠性分析。主要利用扩展椭圆法结合具有规划分析矩阵运算功能的Excel，简单快速的计算出可靠度指标。利用Rackwitz-Fiessler[2]等效正态变换法编写的程序代码进行等效正态化变换，和Hasofer-Lind[3]指标计算式求解可靠性指标。最后利用求解器确定目标单元，可变单元，加上限制条件后经过迭代计算求解出最优结果。其中Hasofer-Lind指标计算式为：

(1)

或者其等效形式：

(2)

其中的是随机变量中的某一个向量，是均值，是协方差矩阵，是相关系数矩阵，为失效域。

然后将求解出的可靠度指标作为在经济优化设计中的约束条件再次进行优化求解，使目标值即工程造价达到最优化，从而既能保证工程可靠度，又可以达到经济的目的。

1．可靠度优化求解方法

1.1 计算模型及原理

针对Hasofer-Lind指标法和一次可靠度方法潜在的不足，Low & Tang根据在随机变量的原始空间不断扩展的等效椭圆切线与极限状态曲面相切的观点，确定可靠度指标的极小值，也就是极小值优化问题。利用优化的方法直接求解可靠度指标，求解过程是在基本变量空间中进行的，直接输入基本变量的相关系数矩阵，而不用进行正交变换。这个相比较于一次可靠度法中的相关系数矩阵进行正交变换，省去了这一步骤。其中最主要的步骤是根据随机变量不同的分布情况，利用编制的程序代码将非正态化分布的随机变量进行正态化处理，然后通过等效正态变换求出各种分布情况下的均值和标准差。它简化了对相关矩阵的正交化变换的处理。

1.2计算实例及分析

这里利用一个简单的相关的三变量非正态分布例子进行计算验证。如图1

图1 相关非正态变量基于优化条件的可靠性分析

（单元格N7的公式输入后需要在同时按住“ctrl”+“shift”键，再按“enter”键才能得出结果）

通过对简单的例子进行分析发现，可以通过编制通用的程序来实现分正态分布的标准正态化转换。求解最优化可靠度指标是通过将可靠度指标作为目标函数，通过变换几个随机变量的值（初值选择各个随机变量的均值），把极限状态函数或者是功能函数作为约束限制条件，利用Excel中的规划求解器，通过迭代计算求出最优可靠度。

1.3 此方法优点

本文方法是寻找最小的多维正态扩展椭圆与极限状态面相切的切点作为验算点，保留住了原始坐标系，而Hasofer-Lind方法是定义新的简化后的变量，并利用新变量在一个转换或者简化后的坐标系中变换其原极限状态方程。如果正态随机变量相关，Hasofer-Lind方法将需要进行坐标转换，通过正交变换将相关正态分布转换成非相关变量。而在此过程中将会产生用特征值和特征向量表示的对角化矩阵。本文的方法保留住了相关矩阵的完整性。

对于相关的非正态分布情况，寻找在原坐标系中等效正态扩展椭圆与极限状态曲面的切线，根据Rackwitz-Fiessler双参数法进行等效正态化变换，而FORM[4]法中的变换需要对角化相关矩阵或协方差矩阵，还要反复修正和简化极限状态方程。本文的方法比较起来方便快捷清晰。如果将FORM方法在EXCEL中根据其相关的正交变换，重复迭代调整其程序代码将会非常复杂繁琐。尽管这两种方法计算出的可靠度指标一样。

EXCEL中在单元格内嵌入程序代码，利用内部自带的函数功能或者将两者结合起来求解目标函数，有时会受到软件本身精确度的限制，但是对于正确的建模，利用这个广泛应用的平台，可以方便快捷的得到最终的结果。

2. 上述方法的改进

在这种方法的基础上，Low &Tang又提出一种改进方法[5]，不必计算变量的当量正态均值和标准差，求解更加方便和简洁。具体方法是在极限状态面上找到一点，使得该点处的概率分布函数值等于标准正态分布函数值。可靠性指标表达式如下：

(3)

式中： R 为相关矩阵；为一个无量纲的列向量。与的关系如下：

(4)

(5)

常见概率分布的变换如下[5]：

（1）正态分布：

(6)

（2）对数正态分布：

(7)

(8)

（3）均匀分布：

(9)

（4）指数分布：

(10)

（5）极值I 型分布：

(11)

(12)

（6）威布尔分布（分布函数）：

(13)

在此求解可靠度指标就变成了通用的非线性约束优化问题，因此可以采用任何恰当的优化算法求解。一般采用的是非线性规划中的广义简约梯度法(General reduced gradient method, GRG)，该算法的基本思路是：对于不等式约束条件可以利用起作用约束来转化为等式约束条件，另外，还可以引入松弛变量使不等式变为等式约束条件，是目前解决约束优化问题的最有效的方法之一[6]。

2.1 改进后方法的优点

早期的方法和改进后的方法都能够利用EXCEL中自带的解算器自动确定最小的等效椭圆与极限状态失效边界的在原始空间变量的切点。只不过后一种方法需要操作人员亲自编写一段程序代码，使不同的概率分布类型都能够转化为标准正态分布函数。相比较于第一种方法中需要直接计算输入均值和标准差，然后通过解算器求解最优可靠度指标，第二种方法则简化了均值和标准差的计算，直接输入0值，通过自动变换变量来求解可靠度指标。

3.结语

本文通过介绍上述两种方法，能够将求解可靠度指标进行简化，最终将其作为基于可靠度的优化中的约束条件，通过构造以最低造价或者最小重量为目标函数，不确定性的随机变量为参数变量的可变化值，加之以可靠度指标为约束条件函数的优化模型。从而达到最优化的经济目的和效益。

参考文献

[1] Low BK, Tang WH. Efficient reliability evaluation using spreadsheet [J]. Journal of Engineering Mechanics, ASCE,1997;123(7):749C52.

[2] Rackwitz R, Fiessler B. Structural reliability under combined random load sequences[J]. Computers & Structures,1978;9:484C94.

[3] Hasofer AM, Lind NC. Exact and invariant second-moment code format[J]. J of Engrg Mech ASCE, New York,1974;100(1):111C21.

[4] Ditlevsen O. Uncertainty modeling: with applications to multidimensional civil engineering systems[J]. New York:McGraw-Hill; 1981.

[5] B. K. Low, Wilson H. Tang. Efficientspreadsheetalgorithm for first-order reliability method [J]. Engineering mechanic; 2007:133:1378-1387.

[6] 吴振君，王水林等. 边坡可靠度分析的一种新的优化求解方法[J]. 岩土力学.2010,31(3):713-718.