以探求本质作为概念教学的基点
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数学教学应该说是数学概念的教学，而数学概念教学的核心目标即“理解”。“乘法分配律”作为一个重要的数学概念，其教学任务的核心应该是“理解概念的内涵”。不久前，笔者听了两节“乘法分配律”的同课异构的课，两节课不同的教学设计引发了笔者关于如何围绕概念的本质内涵进行教学的思考。下面，将结合两节课进行具体分析。
案例描述一
（一）情境中初步感知
1.拍手游戏：学生列出综合算式表示教师共拍手的次数
先拍××××××（稍停顿）再拍××××××
学生列式：①3×2+3×4②（2+4）×3
得出：两个算式都表示6个3，所以两个算式是相等的，即3×2+3×4=（2+4）×3。
2.购物情境（见下图）：购买10套服装共需多少钱？
学生根据两种不同的选配方案分别得出两道等式：
（1）65×10+45×10=（65+45）×10
（2）35×10+45×10=（35+45）×10
（二）初步概括，感受规律
3×2+3×4=（2+4）×3
65×10+45×10=（65+45）×10
35×10+45×10=（35+45）×10
以上三个等式中，“=”两边都表示相同的几个几。
（三）举例验证，揭示规律
17×3+21×3=（17+21）×3
（24+16）×8=24×8+16×8
（56+13）×11=56×11+13×11
（99+999）×9999=99×9999+999×9999
……
得出结论：为什么可以在不同的算式间画等号呢？这些等式之所以成为等式，是因为“=”两边都表示几个几，所以等式成立。
揭示规律，并用字母表示：（a+b）×c=a×c+b×c
（四）反思评价，积累经验
刚才我们是怎样发现这一规律的？你觉得你表现得怎么样？
（五）分层应用，体会价值
1.熟悉规律特征：在里填入合适的数，在里填上运算符号（其中包含规律的逆向应用）。2.判断，巩固对规律的理解：在得数相同的两个算式后面打“√”。3.应用中体会规律的实际意义：用两种不同的方法计算长方形菜地的周长，并说说它们之间的联系。4.初步体会规律的价值：算一算，比一比，每组中哪一题的计算比较简便。5.启发明确：应用不同方法解决问题时，有的计算方法相对简便一些。
案例描述二
（一）情境中初步感知
问题情境1：夹克单价55元、裤子单价45元，各买5件，一共需要多少元？
问题情境2：水果店上午卖出8箱水果，下午卖出12箱，每箱15千克。一共卖出多少千克？
问题情境3：商场里书包单价25元，有一种钢笔每支5元。买4个书包和4支钢笔，共需多少钱？
引导学生分别用两种方法解答：
情境1：（55+45）×5 55×5+45×5
情境2：（8+12）×15 8×15+12×15
情境3：（25+5）×4 25×4+5×4
（二）比较明确特征
上面的每个问题都可以用两种方法，得出：（55+45）×5=55×5+45×5
（8+12）×15=8×15+12×15
（25+5）×4=25×4+5×4
比较得出：形如“（a+b）×c”的计算更简便。
（三）举例归纳概括
学生举例：（25+5）×4=25×4+5×4
（19+21）×3=19×3+21×3
（46+54）×4=46×4+54×4
（33+67）×8=33×8+67×8
……
揭示规律：语言描述（略）。
用字母表示规律：（a+b）×c=a×c+b×c
（四）巩固应用：简便计算（题目略）
数学中是这样描述“乘法分配律”的：两个数的和与第三个数相乘，等于这两个数分别与第三个数相乘，再把它们的乘积相加。从这里不难看出乘法分配律的本质内涵，即等号的左右两边表示同样的几个几。以“3×2+3×4=（2+4）×3”为例，“=”两边都表示6个3。当出现“两个数的和”恰巧是整十或整百数可使计算简便时，仅仅是这一规律中的特例，是数字本身的特殊性决定了可以使计算简便。从数学规律的普适性来说，乘法分配律的字母表达式“（a+b）×c=a×c+b×c”中的“（a+b）”的和，可以是整十、整百数，也可以不是整十、整百数。
上面两个案例中，教者都能在现实背景中帮助学生体会规律的实际意义。其最大的不同在于：案例一中，无论是从情境中感悟、在比较中建立表象，还是归纳概括、练习应用，其各个环节，无不凸显出乘法分配律的本质特征：等号的左右两边表示同样的几个几。此案例中的教师准确把握了概念的内涵，其教学重心放在了理解“=”两边都表示几个几上，并在教学过程中逐层渗透。而对于“运用乘法分配律有时可以使计算简便”这一应用价值的体验，教者也是本着突出本质、初步体会其价值的原则：填空中熟悉规律特征――判断中巩固对规律的理解――应用中体会规律的实际意义――计算比较中初步体会规律的价值――用不同方法解题中明确简算方法。由此可见，案例一中教师抓住了概念教学的核心目标――理解概念内涵，这是任何一节概念教学课中都必须做到的。案例二则不同，在每一个问题情境之后，教者都安排学生先计算后比较，得出形如“（a+b）×c”的计算更简便，且每一个情境中“两个数的和”均是整十、整百的数。教者这样的设计，看似别具匠心，实则是近于“功利”的刻意。在接下来举例验证的环节，学生也都“依葫芦画瓢”似的举出诸多例子，且每一个例子中“两个数的和”不是整十数，就是整百数。教者似乎对于自己的教学效果很满意，随即便进行了“水到渠成”式的归纳概括，并且也总结出了字母表达式。殊不知，在简便计算的前提下总结出的规律缺少了普遍性，给学生的认识带来偏差――认为唯有“两数的和”是整十、整百数时，才叫乘法分配律。可以想见，由于教者对简便计算的过分关注偏离了概念教学的核心目标，犯下了缩小概念外延的逻辑错误。
小学生的认知水平有限，往往不能准确把握概念的内涵和外延，如果教师不能有针对性地加以引导，何谈准确地理解概念内涵呢？数学教学中让学生体会数学知识的应用价值，并能在解决问题的过程中灵活运用固然重要，但这要以准确理解概念内涵为前提，因为数学概念不仅是数学知识的“细胞”，更是一切数学思维的基础，如果不能准确地理解概念内涵，不仅会直接影响到学生对基本知识和基本技能的应用，而且会妨碍学生进行准确的判断，无法进行科学推理，直接影响思维能力的发展。所以说在概念教学中，应科学把握理解概念内涵与体验其应用价值的度，把探求概念本质放在教学第一位。
首先，教师应追根溯源探求概念本质。数学里的任何一个知识点都不是孤立的，要把握教材的实质，追根溯源很有必要。仔细分析乘法分配律的算式结构特点，不难发现，它与运算意义之间有着千丝万缕的联系。其实，之前学生在学习“多位数乘法的竖式计算”“相遇问题的应用题”以及“长方形周长计算”时，就已经接触到了乘法分配律。这就不难发现乘法分配律与运算意义之间的密切联系。如果以生活情境为载体，将教学活动定位在理解算式结构与运算意义的关系上，也就不难理解乘法分配律的本质内涵了。案例一中的教师就是从运算意义的角度追根溯源、深入思考，通过多个情境的铺垫，引导发现不同算式其实都表示“相同的几个几”，从而得出等式，学生把握知识的内在本质已是水到渠成。案例二中的教师只注重简便计算的练习应用，无法将知识真正纳入到学生的认知结构中。
其次，教师应树立核心概念意识。“乘法分配律”是一个重要的数学模型，“模型思想”是《标准（2011年版）》中提出的一个重要的核心概念，树立了这一核心概念意识，有利于教师理解教学内容的实质以及准确把握教学内容的重点难点。结合教学内容分析便知：建构形如“（a+b）×c=a×c+b×c”的数学模型才是本节课的教学重点，所以在教学中应更多地关注与“模型思想”关系更为密切的模型建立。案例一中的教师有较强的概念意识――“模型思想”，所以在情境感知、建立表象、抽象概括、巩固应用等教学环节均能把握住乘法分配律的本质内涵，帮助学生建立正确的、具有普遍适应性的乘法分配律模型。在这里，概念意识作为一种隐性的观念和思维方式呈现在教学的各个环节，使学生准确、透彻地理解了乘法分配律的内涵。由于案例二中的教师缺少核心概念意识，教学时只求应用、不求甚解，致使学生无法体会到规律的普遍适应性，不难想到：这是应试思想在作祟。所以说，树立正确的核心概念意识，才是真正理解教材的标志。
再次，教师应树立过程性目标意识。在乘法分配律这节课中，“会运用乘法分配律进行简便计算”作为一项显性的基本技能，代表的是结果性目标。而《标准（2011年版）》中明确提出关于过程性目标的描述，则更多地指向数学基本思想和基本活动经验，它作为一项长远性目标，将数学活动经验的积累作为目标得以实现的标志。所以教材中对本节课的教学明确提出“使学生经历主动参与探索、发现和概括规律的学习活动，理解乘法分配律”。在这个过程中，案例一中学生所获得的不仅是对概念的透彻理解，而且积累了如何去探索、发现，如何去研究的经验。案例二中教师仅注重结果性目标，忽略了过程性目标，学生所获得的仅是不具普适性的规律，以及片面运用知识的单纯计算技能，与“四基”的要求相去甚远。基于此，教学中应合理分配“理解规律内涵”与“体验应用价值”的教学时空比例，否则就会像案例二中那样重计算、轻理解，重应用、轻过程，这不是概念教学的科学做法。
最后，教师应从更上位的角度关注数学能力培养。上面两个案例中，两位教师都引导学生经历了“提取生活原型――形成知识表象――举例验证猜想――归纳概括结论”的学习过程，其间，都让学生增加了对“归纳思想”的感性认识。但明显不同的是，案例一中的教师从更上位的角度关注学生数学能力的培养，表现在教师帮助学生掌握基本知识、形成基本技能的同时，还关注学生学习经验的积累和数学思想的渗透，可见，其教学的终极目的是：让学生抓住知识的本质内涵，在科学的判断中解决问题。虽说案例二中的教师也体现出了数学归纳思想的渗透，但从中不难看出教者在规律的本质内涵与简便计算之间画等号，其教学的各个环节都陷入了“体验应用价值”的小圈子，其终极目的只有一个：熟练地进行简便计算。显然，从数学教育的角度来说，案例二中教师的做法显得狭隘、短视。■
（作者单位：江苏睢宁县实验小学）