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摘 要:挥别中考,迈入高中。首先遇到的就是集合。集合在高中数学里面是一个比较重要的内容,有着一定的地位。运用集合的思想去解决数学问题,已经是广大师生常用的解题方法,集合的思想在高中数学里面是基础,和许许多多的高中数学内容互相关联、密不可分。集合语言可以更加全面地分析数学,使数学问题简单化,对学生理解数学和解决数学问题有着一定的积极作用。
一、运用数形结合的思维方式去学习集合
在数学教学手法之中,数形结合属于主流,应用数形结合的思想,可以解决不少的集合问题。在集合的运算过程中,就可以用数轴、Venn图来处理集合的交集、并集、补集之间的关系,从而使问题更加清晰,简单明了。能否熟练将数形结合的解题思想去解决数学问题,是能否学好数学的一大关键。例如,看Venn图,求出A∪B、(CUA)∩B、(CUB)∩A、CU(A∪B)。
如上图所示,可以得出。
U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
A={2,3,4,7,8}
B={1,2,4,5}
A∪B={1,2,3,4,5,7,8},A∩B={2,4},CUA={1,5,6,9,10,11,12}
CUB={3,6,7,8,9,10,11,12},(CUA)∩B={1,5},(CUB)∩A={3,7,8}
CU(A∪B)={6,9,10,11,12}
{(CUA)∩B}∩{(CUB)∩A}=?椎
从表面上看,“数”与“形”看上去似乎是孤立的,但实际上,它们之间常常有着千丝万缕的关系,数与形之间往往都是一一对应的。通过图可以将抽象复杂的数量关系直接简单地表达出来,将数学问题简单化,从而更容易去学习数学知识,也更深入去学习数学知识。因此,在解决数学问题的时候,应该多从图形下手,展开联想,从多方面、多角度思考问题,带着问题去找答案,做到真正的数形结合。
二、运用分类思想去解决数学集合问题
分类思想,就是按照数学对象属性、性质、关系等不同,将其分成不同类别,按不同的方式去研究。一般地,同一类型的数学题的解决方法也大同小异,只要学会了其中一种解决方法,就能自发地延伸到其他题目,收到举一反三的效果。分类思想在数学的应用上非常广泛,是高中数学学习过程中的重点、难点和考点。分类思想有一定的难度,但是只要掌握了这种思想,很多数学问题就能迎刃而解了。例如,设集合A={x|x2+2x=0,x∈R},集合B={x|x2+a-1x+a2-1=0,a∈R},若BA,求实数a的值。
分析:BA可以分三种情况,B=A、B=?椎,B≠?椎这三种情况讨论。
解:A={x|x2+2x=0,x∈R},解得A={0,-2}
(1)当B=A时,即B={0,-2},所以方程x2+a-1x+a2-1=0的两根是0和-2,根据韦达定理得:
a2-1=0-a-1=-2
a2-1=0,得a=±1
由-a-1=-2得:a1=-1,a2=3(不合题意,舍去)
所以a=-1
(2)当B=?椎时,即方程x2+a-1x+a2-1=0无解,所以Δ=-3 a2-2a+5
解得a1
(3)当B≠?椎时,则B={0}或者B={-2}
(i)当B={0}时,方程x2+a-1x+a2-1=0有两个相等的根都是0
根据韦达定理得:a2-1=0-a-1=0
解得a=1
(ii)当B={-2}时,方程x2+a-1x+a2-1=0有两个相等的根都是-2
根据韦达定理得:a2-1=4-a-1=-4
此时a无解,此种情况不存在。
综上所述,实数a的值为a
把分类思想运用到集合的计算过程中去,可以避免一点看不见的盲点,从而全面地分析题目,分类思想在高中数学中的重要性,在于它不仅是学习集合过程中一种常用的手段,更是在数学领域中一种基础的解题方法。所以,要培养分类思维方式,更好地运用分类思想去解决数学集合问题。
三、把转化思想和集合问题相结合
转化也叫划归,从古至今,学习数学、应用数学就一定有转化的思想。转化思想可以将复杂的问题转化成简单的问题,这就是转化的魅力所在。它是在数学教育过程中应用最为广泛的一种思想,转化前后的问题往往是等价的,这就是转化的意义之一。
例如,已知集合A={x∈R|x2-3ax+3a2-1=0},B={x|x≥0},且A∩B≠?椎,求实数a的取值范围。
分析:依题意得,因为集合A∩B≠?椎,所以方程x2-3ax+3a2-1=0有解,集合A并非空集。由此探讨,方程x2-3ax+3a2-1=0有两个根,其中一种情况是一个非负根和一个负根,另一种情况是方程有两个非负根。所以,遇到这种情况的题目,是比较复杂的。为了把题目简单化,我们可以利用转化思想来解题。
解:因为方程有根,所以集合A={x∈R|x2-3ax+3a2-1=0}有解
(1)若方程有两个非负根,则根据韦达定理可知
Δ=(-3a)2-4×1×(3a2-1)≥0x1+x2=3a≥0x1x2=3a2-1≥0
(2)若方程有一个非负根和一个负根,则根据韦达定理可知
Δ=(-3a)2-4×1×(3a2-1)>0x1x2=3a2-1≤0
综上所述,实数a的取值范围是:
集合的问题,不管怎么变,都是需要运用数形结合、分类思想、方程的思想以及转化思想去解决问题。要抓住已知的信息,从不同的角度去思考,运用不同的手法和多方向思维去解决题目,从探索中寻找出最简单便利的方法,提高学习效率。数学教育还在继续,教育的方法还在探索,需要广大教师坚持不懈地继续和努力,为培育新一代优良品格的学生,提高他们的实践能力和综合素养孜孜不倦地奋斗。
参考文献:
[1]刘希栋.透过“表示”看对集合概念的理解.中学教学参考,2012(2).
[2]李明照,魏晓娟.浅淡集合思想在高中数学解题过程中的应用.数学爱好者,2008(04).
(作者单位 江西省抚州一中)