一道课本习题解法的改进

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浙教版义教课标教科书《数学》七年级上第131页有这样一道习题：

题目 一收割机每天收割小麦12公顷，收割完一片麦地的2/3后，该收割机改进操作，效率提高到原来的5/4倍，因此比预定时间提早1天完成. 问这片麦地有多少公顷？

教学参考书解答如下：

解法1 设这片麦地有x公顷. 根据题意，得：

解得x=180,答略.

参考书的解题思路（简称思路1）是从工作时间去找相等关系，通过收割完整片麦地实际所用时间比预定时间少1天的条件，得出实际时间-预定时间=1的相等关系，列出方程.

可是这个方程的系数相当复杂，对刚学习一元一次方程解法的初一学生来说并不轻松. 难道非得从全部的实际时间与全部的预定时间进行比较，才能找到相等关系，列出方程吗？有没有通过其他思路使列出方程简洁一点，好解一些呢？带着这两个问题，笔者对这道题进行解法探索.

思路2 通过审题，我们不难发现：收割完整片麦地实际所用时间比预定时间少1天，是因为在剩下1/3麦地收割机的效率提高到原来的5/4倍，与开始收割完的麦地的2/3无关，因此我们可把原来的条件转化为1/3麦地实际工作时间比1/3麦地预定工作时间少1天，这样列出的方程更简洁，更容易解.

解法2 设这片麦地有x公顷. 根据题意，得

解得x=180.

思路3 解法2是从剩下1/3麦地的工作时间去考虑，我们当然也可以从收割整块麦地所用的时间去思考. 假设收割机一开始就把效率提高到原来的5/4倍，那么所用时间就会比预定时间少1×3天，这样，我们又可把条件转化为按原来效率5/4倍收割完全部麦地的所用时间比按原来效率所用时间少3天，列出比解法2更简洁的方程.

解法3 设这片麦地有x公顷. 根据题意，得：

解得x=180.

评注1 解法1的思路是把实际所用时间分两段进行计算，解法2的思路是从局部考虑，看透题目的实质――“比预定时间提早1天，是因为在剩下1/3麦地时收割机的效率提高到原来的5/4倍”，解法3的思路是则从整体去入手，假设收割机一开始就把效率提高到原来的5/4倍，那么所用时间比预定时间少3天. 若把方程①去括号，左边前两项合并就得到方程②；若把方程②两边都乘以3，就得到方程③.

以上三种解法都是直接设未知数，由于题目中预定的效率和后来的效率都是已知的，因此只要求出工作时间，就能求出相应收割的麦地公顷数.

思路4 如果设收割完剩下1/3麦地的预定所用时间为x天，根据收割剩下1/3麦地工作量的两种不同表示方法，列出方程求出x,再求出整片麦地公顷数.

解法4 设收割完剩下1/3麦地的预定所用时间为x天，根据题意，得12x=12×5/4(x-1)，解得x=5，所以3×12x=3×12×5=180.

评注2 解法4与前三种解法相比，解法4从同一个工作量的两种不同表示方法上列方程，解方程过程中用不到去分母，所有计算都可以通过心算进行，计算不太容易出差，因此在这点上解法4更显得优越.

思路5 解法4是先求出收割完1/3麦地的预定所用时间，其实我们也可以先求出收割完整片麦地的预定所用时间，只不过需要把“收割完整片麦地的预定所用时间比一开始按效率提高5/4倍收割所用的时间多3天”的隐含条件挖掘出来.

解法5 设收割完这片麦地的预定所用时间为x天，根据题意，得12x=12×5/4(x-3)，解得x=15,所以12x=12×15=180.

实际上，这道习题用算术方法也会比解法一简单，以下是笔者给出两种用算式求解的方法：

解法6 把条件“在收割剩下麦地的1/3，比预定时间提早1天”理解成“当按实际效率收割完剩下1/3麦地时，则按原来效率收割这些麦地，还有1×12公顷没有收割”. 根据题意，收割完1/3麦地实际所用时间是(12×1)÷(15-12)=4天，1/3麦地的公顷数为15×4=60，即这片麦地有60÷1/3=180公顷.

解法7 从条件可看出，单按效率收割完整片麦地比单按原来效率收割完整片麦地少用1×3天，因此单按提高5/4倍效率收割完整片麦地所用时间为(3×12)÷(15-12)=12天，整片麦地为15×12=180公顷.

评注3 解法6从局部考虑，而解法7则从整体去入手，显然整体考虑比局部考虑思路更清晰，算式更简单.

数学教学，说到底就是数学解题的教学. 通过对典型课本习题的解法分析，我们可以不断积累解数学题的思想、策略和方法. 因此在平时解题过程中，我们不要总满足于已有的一招一式，也不可崇拜课本上的“经典”解法，匆匆地闭题而过，失去了提高解题能力的机会，相反此刻我们应该静下心来，思考已有的解法能不能改进，有没有更加简洁自然的思路.