平行四边形中常见的辅助线

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇平行四边形中常见的辅助线范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

作辅助线是解几何题的重要方法，也是将已知条件和待求结论联系起来的重要桥梁.本文结合例题归纳六类与平行四边形有关的常见辅助线，供同学们参考.

第一类：连接对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形.

例1如图1，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）.

解：连接BF，可得到BF＝DE.理由如下，

连接DB，DF，设DB，AC交于点O.

四边形ABCD为平行四边形，

AO＝OC，DO＝OB.

AE＝FC， AO－AE＝OC－FC，即OE＝OF.

四边形EBFD为平行四边形，

BF＝DE.

第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形.

例2如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.如果AC＝12，BD＝10，AB＝m，那么m的取值范围是（ ）.

A.1＜m＜11B.2＜m＜22

C.10＜m＜12 D.5＜m＜6

解：将线段BD沿DC方向平移，使得DB＝CE，DC＝BE，则四边形CDBE为平行四边形.

在ACE中，AC＝12，CE＝10，AE＝2AB＝2m，

12－10＜2m＜12＋10，即2＜2m＜22，

解得1＜m＜11.故选A.

第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形.

例3已知：如图3，四边形ABCD为平行四边形.

求证：AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋DA2.

证明：过A，D分别作AEBC于点E，DFBC的延长线于点F.

AC 2＝AE 2＋CE 2＝AB 2－BE 2＋（BC－BE）2 ＝AB 2＋BC 2－2BE・BC，

BD 2＝DF 2＋BF 2＝（CD 2－CF 2）＋（BC＋CF）2 ＝CD 2＋BC 2＋2BC・CF.

则AC 2＋BD 2＝AB 2＋CD 2＋BC 2＋BC 2＋2BC・CF－2BE・BC.

四边形ABCD为平行四边形，

AB∥CD且AB＝CD，AD＝BC.

∠ABC＝∠DCF . ∠AEB＝∠DFC＝90°，

ABE≌DCF，BE＝CF.

AC 2＋BD 2＝AB 2＋BC 2＋CD2＋DA2.

第四类：连接顶点与一边中点并延长，把平行四边形转化为三角形.

例4已知：如图4，在正方形ABCD中，E，F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：AP＝AB.

证明：延长CF交BA的延长线于点K.

四边形ABCD为正方形，

AB∥CD且AB＝CD，CD＝AD，

∠BAD＝∠BCD＝∠D＝90°.

∠1＝∠K.

又∠D＝∠DAK＝90°，DF＝AF，

CDF≌KAF，

AK＝CD＝AB.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文