巧用倒一倒 妙解代数题

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有这样一则幽默的故事：一个牧师的烟瘾非常大.有一次，他问他的上司：“祈祷的时候能不能抽烟？”上司回答：“绝对不行！”后来，他又换了一种问法：“抽烟的时候可不可以祈祷呢？”结果他得到了肯定的回答.由此可见，问法不同，有时答案竟会截然相反.

对于同一事物，从不同的角度提出问题，有时会有意外的收获.上述故事中牧师的两个问题中，前者的条件是“祈祷”，目的是“抽烟”；后者的条件是“抽烟”，目的是“祈祷”.当我们在学习中遇到问题时，如果一时难以解答，那么不妨把问题的条件或结论变换一下，往往会豁然开朗，使思路打开.下面请看几例有趣的数学问题.

一、分子分母倒一倒

对于有些含有分式的数学问题，在求解时若能把分子分母颠倒，可以使问题简化，立见奇效，快捷求解.

例1 已知a是方程x2 + x -= 0的一个根，则的值等于________.

解：a是方程x2 + x -= 0的一个根，则有a2 + a -= 0，故a2 + a =.

对所求值的式子取倒数得：

=（a2+a-1）+=（a2+a-1）+=（-1）+=

故=20.

例2 已知x += 3，求的值.

解：由于=x2+1+=（x+）2-1=8，所以=.

二、主元客元倒一倒

例3 已知关于x的方程x3 - ax2 - 2ax + a2 -1 = 0有且只有一个实根，求实数a的取值范围.

解析 此题若按x为未知元直接求解比较困难.若变原方程的常数a为主元，而把未知数视为常数，将原方程整理成关于a的一元二次方程来处理，问题便可迎刃而解.

解：原方程化为a2 - （x2 + 2x）a + x 3 - 1 = 0，易得：a = x - 1或a = x2 + x + 1，即x = a + 1或x2 + x + 1 - a = 0

原方程只有一个实根，必有x2 + x + 1- a = 0无实根.

=1 - 4（1 - a） < 0，a

三 、正面反面倒一倒

有些数学问题，从正面思考困难很大，若分析研究问题的反面，则可能使问题简捷获解.

例4 某校准备用淘汰制从123名运动员中选出一名优胜者，应当安排多少场比赛？

解析 若把运动员编上号，画一张表格再数一数共需安排多少场比赛，这样做太麻烦.若反过来想，从123名运动员中选出一名优胜者，这相当于从123名运动员中淘汰掉122名运动员.因为一场比赛淘汰一名运动员，要淘汰122名运动员，当然要安排122场比赛.

例5 在自然数1～500中，既不是平方数，又不是立方数的数共有______.

解析 考虑自然数1～500中的平方数与立方数，易知有平方数1，4，9，……，484共22个，有立方数1，8，27，64，125，216，343共7个.其中1与64既是平方数又是立方数，因此自然数1～500中是平方数或立方数的共有27个，那么既不是平方数又不是立方数的数应有：500 -27 = 473个.

四、过程前后倒一倒

例6 池塘中的某种水生植物每长一天，它的覆盖面积为原来的2倍.若经过20天可以长满整个池塘，问经过多少天此种水生植物能长满整个池塘的？

解析 因为水生植物每长一天，它的覆盖面积为原来的2倍.经过20天长满整个池塘，所以第19天已长满池塘的；照此下去，第18天以长满池塘的；第17天以长满池塘的；第16天以长满池塘的.至此问题获解，简单明了，通俗易懂.

五、关系是否倒一倒

例7 在1到1000之间有多少个数不是100的整数倍？

解析 不是100的整数倍的反面是100的整数倍.因为1到1000之间是100的整数倍的数是100、200、…、1000共10个，所以1到1000之间不是100的整数倍的数共有990个.

六、顺序先后倒一倒

把问题所发生的先后顺序进行适当的倒换，有时会使问题简单易解.

例8 有甲、乙、丙三个箱子，各装有若干个乒乓球，先由甲取出一皮球放进乙、丙箱子中，所放之数分别是乙、丙现有之数；再由乙箱取出一批球放进甲、丙箱中，所放之数分别是甲、丙现有之数；最后按同样的规则将丙箱中的一批球放进甲、乙箱中，结果甲、乙、丙箱中的球恰好都为32个.问甲、乙、丙箱中开始时各有多少个球？

解析 在最后一步（丙箱分球给甲、乙）之前一刻，甲箱有球32 × = 16（个），乙箱有球32 × = 16（个），丙箱有球32 + 16 + 16 = 64（个）.再推回乙箱将分球给甲、丙但还未分的那一刻，甲箱有球16 ×= 8（个），丙箱有球64 ×= 32（个），乙箱有球16 + 8 + 32 = 56（个）.

因此还未分球时，乙箱有球56 ×= 28（个），丙箱有球32 = 16（个），甲箱有球8 + 28 + 16 = 52（个）.

七、次序前后倒一倒

有些问题，通过前后顺序倒一到，可使问题化繁为简，快速求解

例9 解：设原式为S，那么S=+（+）+（++）…++…+）

这时2S = 1 + 2 + 3 + … + 59，同时2S = 59 + 58 + 57 + … + 1，于是4S = 59 × 60，故S ==885.

（作者单位：安徽省灵璧县黄湾中学）