真是例题惹的祸吗?
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一、笔算乘法中“倒乘”现象的出现
在人教版三年级下册“两位数乘两位数”的计算教学中，学生中经常会出现这样一种现象：在竖式计算中，学生本来应该用第二个因数的个位、十位上的数分别去乘第一个因数，再把两次乘得的积相加，但每次都有学生用第一个因数的个位、十位上的数去乘第二个因数，再把两次乘得的积相加，即教师称之为倒乘的不规范的计算，如：
学生为什么在统一计算方法以后还这样做呢？是课堂上没有学透算理与算法吗？是统一成规范计算方法时学生有异议吗？只有找到正确的答案，对学生的不规范错例进行归因分析，教师才能发现教学中存在的问题，反思教学设计与方法，以便及时作出调整。
二、分析现象，寻找原因
三年级教师针对这一现象开展了分析研讨活动，并根据自己的教学经验分析了教材，提出教材例题选取的数据不利于学生计算方法的规范掌握。
教师首先细致地分析了教材的设计，发现例题中选取的数据易对学生产生误导，如教材第63页例1：买1套（书：图片出示）12本，每本24元。一共要付多少钱？
教材第65页例2：围棋棋盘面由纵横各19道线交叉组成，棋盘上一共有多少个交叉点？
观察上述两道例题的竖式，发现无论学生是用第一个因数的个位与十位上的数分别去乘第二个因数，还是用第二个因数中的个位与十位上的数分别去乘第一个因数，乘得的每步积完全相同，从表面现象看不出计算方法是否规范、是否有倒乘的现象。这样的例题给学生造成计算方法掌握得不够规范是有可能的，容易让学生混淆计算的步骤。那么，是否例题数据选择不当是造成这种错误的根本原因呢？
在一次数学同课异构教学比武中，教师们进行了不同的教学设计：有的改变了教材，更改了例题中的数据，也有的使用教材中的例题展开教学。笔者重点观察了两种具代表性的教学设计（分别见A教师与B教师的教学片段），选取的教学例题材料如下表所示：
A教师 B教师
买1套（书：图片出示）12本，每本24元。一共要付多少钱？ 机器人（图）每个23元，老师一共要买12个，应付多少元？
预设：B老师选取的数据更有利于学生避免倒乘的不规范计算
【A教师教学片段】
师：买一套书多少钱，可以怎么计算呢？
生：12×24。
独立探究，汇报交流口算方法。
生：先算10本书多少钱，再算2本书多少钱，再加起来。
生：也可以先算2本书多少钱，再算10本书多少钱，再加起来。
结合图分成10本和2本。
……
汇报交流笔算方法。
师：说一说你是怎么算的。
生：我是这样算的……
师：谁听懂了？刚才他第一步算什么？第二步呢？那第三步呢？（师逐步引导规范说法）
沟通：竖式计算和刚才的口算有什么联系吗？并结合图理解。
【B教师教学片段】
师：老师要把12个机器人全买下来（黑板贴图），需要多少钱呢？
生：23×12。（师板书：23×12）
独立探究，汇报交流口算方法。
师（指图）：他先算……再算……
生：先算2个机器人多少钱，再算10个机器人多少钱，最后加起来就是12个机器人的钱。
生：我是先算23×2=46，再算23×10=230，最后把46和230加起来就是276。
师：能说说每一步分别在算什么吗？（把黑板上的机器人分成2个和10个两堆）
……
汇报交流笔算方法。
师：像这样列竖式计算的同学有哪些？谁来当当小老师，讲讲你是怎么算的呀？
生：我是这样算的……
师：谁听懂了？刚才他第一步算什么？（再请一学生说。师：哦，第一步是用第二个因数个位上的2去乘23，二三得六，二二得四）第二步呢？（对呀，第二步是用第二个因数十位上的1去乘23，一三得三，一二得二）那第三步呢？（第三步是把这两步积相加等于276）
……
笔者对两个班学生完成的“做一做”巩固练习的计算错误进行了收集分析。发现两个班的学生都存在一定的错误，例如在把两步乘得的积相加时，其中的一步计算用了乘法等。去掉这些错误，笔者发现有倒乘现象的学生每班各有三名。这个结果让我们陷入了沉思：怎么跟我们的预设不符呢？
观察这两位教师的课堂教学，虽然选择了不同的教学材料，但教学过程与方法却非常相似，把口算过程、竖式计算过程以及与图一一对应起来，使算法与算理相结合，易于学生理解和掌握，学生对于计算过程与计算方法有非常清晰的认识。并且在接下来的过程中进行了各种形式的巩固练习，如竖式计算巩固、判断改错等，让学生在练习与错例分析中进一步明确了算理，巩固了计算方法。由此算理与算法相结合，多道算式、多种形式的练习，使得A教师也减弱甚至规避了原有数据可能带来的不利影响，使两位教师教学后的学生倒乘的不规范的错例数量基本相同。
那么课堂教学设计合理，教学过程如此扎实，怎么还有倒乘的不规范计算存在呢？
笔者对产生错误的学生进行了访谈：两位数乘两位数的计算方法是怎样的？（学生基本答对）你为什么这样计算？（指的是倒乘的算式）学生共反馈了这样三种理由：“两种乘的方法都可以的，结果反正是对的。”“这是我一开始想出来的方法。”“有的算式这样乘反而简单，例如……”从访谈结果看，学生对计算方法是理解并掌握的，但在计算过程中选择了自认为合理的、独创的、较简单的方法。
三、反思教学，改进提高
教师对教学中学生出现的各种问题，是否能针对原因作出恰当的处理，是提高教学效率的重要因素。
（一）精准解读教材，适当处理教学材料
目前教师正在使用的新教材，无论在教学内容的编排上，还是在教学理念的指导上，和原教材相比较都有很大的改变。在教学中，分析教材是教师的基本功，也是转变学生学习方式、发展学生智力的关键所在。只有真正地读懂、读透新教材，理解意图，才能精心设计教学，生成精彩的课堂。因此，教师要尽可能“用好”“用足”“用活”“用实”“用新”教材。“用好”就是要基于教材，明了例题所蕴含的特定意图、练习中每一道习题的不同层次的要求；“用足”就是拓展、挖掘教材所蕴含的丰富素材和内容；“用活”就是根据实际情况大胆创新，显现思维的层次性、题材内容的创造性、活动过程的探索性、学习方法的多样性、学习空间的开放性；“用实”就是要切合本地实际和学生实际，贴近学生生活；“用新”就是要捕捉最新的学习信息和资源。同时，教师应站在学生的视角去思考问题、组织教学，要敢于对教材质疑，有整合与改变教材的能力，选择最适合自己所教学生需要的学习材料。如上述教学片段，教师就可以改变例题中的数据进行教学，即使没有优秀教师的深厚功底，也可规避教材带来的不利影响，以达到更好的教学效果。
（二）客观分析学情，找准成因对症下药
在教学过程中，当学生出现各类问题时，教师应基于客观的态度、借助一定的科学方法去分析问题，而不是凭主观去猜想。从课堂教学实际与学生的心理出发，通过课堂观察、对比分析、学生访谈、实践尝试等多种方法找到问题的症结所在，并对症下药。学生出现错误的成因有很多，教师首先要分析不同的错误成因：是教师问题、教材问题还是学生问题；是个别现象还是普遍错误；是巧合还是有特殊原因等，区别对待。例如，个别学生错例现象可以进行单独辅导；集体出现的错误则因反思自己的教学是否有不恰当的地方，整体补救。当然，教师如果能事先预知学生可能出现的错例现象，进行有针对性的教学设计，比事后反思改进要好许多。这就需要教师在教学中不断积累经验，提高自己研究与改进的能力。
（三）把握最佳教学时机，渗透优化思想
在教学过程中，教师要根据学生的学习特点，注意把握最佳的教学时机，建构正确的知识体系。例如在教学开始时较快地展开新授部分的教学，牢牢把握学生注意力最集中的时间段，能有效提高学生的参与度与学习兴趣，正确掌握所学内容。再者，根据学生先入为主的认知特点，如在学生尝试练习后反馈时，先反馈正确的解法，分析原因，探究方法，再反馈错例对比分析加强印象，提高认知的正确率。
在多种方法与策略中挑选最优的方法与策略的思想是一种重要的思想。在小学数学的学习中，“算法的优化”、解决问题教学中的“策略优化”以及统计教学中的“统计方法优化”等都是培养学生优化思想的内容。在新课改下开放式的教学发展了学生探索创新的能力，在这个环境下教师要有意识地引导学生善于倾听同学的意见，寻找最优的方法，遵循共同的规范，不但有利于解决实际问题，而且能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法。
（浙江省湖州市爱山小学教育集团 313000）