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解读平方根与立方根

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对于平方根和立方根,本文从课本、中考题型和数学思想的角度进行解读.

一、注重“一二三四五”,平方根的学习没问题

1. 明白一种运算

求一个数的平方根的运算叫开平方.开平方是继加、减、乘、除和乘方后的第六种运算.开平方与平方是一对互逆的运算.

例1(1)求(-4)2;

(2) 求9的平方根.

分析:(1)显然是求一个数的平方, (-4)2=16;

(2)是求9的平方根,所得结果为±3.

2. 了解两种定义

(1) 文字语言叙述:如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫a的平方根(或二次方根).

(2)数学语言叙述:如果x2=a (a≥0),那么x就叫a的平方根.正数a的平方根有两个,记为± .其中 叫a的算术平方根,0的平方根和算术平方根都是0.

例2(-5)2的平方根是().

A. 5 B. -5 C. ±5 D.±

分析: 因为(-5)2=25,(±5)2=25 ,所以25的平方根是±5,故应选C.

3. 掌握三条性质

(1)正数有两个平方根,它们互为相反数,如例1中的(2).

(2)0的平方根和算术平方根是它本身.如0的平方根是0,即

± ;其算术平方根也是0,即 =0.

(3)负数没有平方根,更没有算术平方根(也就是说在目前找不到一个数的平方是负数).

例3已知一个正数x的平方根是a+1,a-3,则x=.

分析:由正数的平方根互为相反数得,(a+1)+(a-3)=0,a=1,即x的平方根是 ±2.所以x=4.

4. 切记四点注意

(1)± 表示a的平方根, 表示a的算术平方根,它们都是在a≥0的条件下才有意义.

(2) 根号左上角的数叫根指数,当根指数是2时,通常省略不写.如“二次根号5”通常写成 ,而不写成“ ”.立方根的根指数是3,是绝对不能不写的,如 若不写根指数3,就变成了 ,其意义就发生了改变.

(3)当 a≥0时, 是非负数;当a<0时, 没有意义.如 是无意义的.

(4)“当a≥0时, 是a的平方根”是正确的; “当a≥0时, a的平方根是 ”却是不正确的.

例4求式子 + +4的值.

分析: 与 有意义,

a-2≥0,2-a≥ 0.

a≥2,a≤2.

a=2.

原式的值为0+0+4=4.

5. 明确五点不同

平方根与算术平方根是有区别的,主要有五点“不同”.

(1)定义不同.

平方根的定义是“如果一个数的平方等于a,那么这个数就是a的平方根”,0的平方根是0.而算术平方根的定义是“如果一个非负数的平方等于a,那么这个非负数就是a的平方根”,很显然, 0的算术平方根是0.

(2)表示方法不同.

正数a的平方根可表示为± ;正数a的算术平方根则表示为 .

(3) 读法不同.

正数 a的平方根± 读作“正、负根号a”; 正数a的算术平方根 读作“根号a”.

(4)个数不同.

正数的平方根有两个,它们是一对相反数,0的平方根有一个,即0;正数的算术平方根只有一个,0的算术平方根也只有一个,即0.

(5)包含关系不同.

一个非负数的平方根包含它的算术平方根.但是, 一个非负数的算术平方根却只是这个数的平方根的一部分.

二、学习立方根应对比平方根

在学习立方根时,可以与平方根对比着理解和学习.

1. 定义相似,结论不同

立方根定义是:如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫a的立方根.即如果x3=a, 那么x叫a的立方根(或者三次方根),记作(这与平方根的定义相似).因为33=27、03=0、(-3)3=-27,所以3、0、-3分别是27、0、-27的立方根.正数有一个正的立方根,负数有一个负的立方根,0的立方根仍是0.(这与平方根的结论是不一样的)

例5立方根等于3的数是( ).

A. 9 B.±9 C. 27 D.±27

分析:因为一个数的立方根只有一个,所以B、D不正确.又因为33=27,所以3是27的立方根.故应选C.

例6如果A= 为a+3b的算术平方根,B= 为1-a2的立方根,求A+B的平方根.

分析: 由A是a+3b的算术平方根可知根指数a-2b+3=2,B是1-a 2的立方根可知根指数2a-b-1=3.

解方程组a-2b+3=2,2a-b-1=3,

得a=3,b=2.

A= =3,B= =-2,A+B=1.

所以 ± =± =±1.

2. 求平方根、立方根的方法

简单数的平方根、立方根易于看出或笔算求出,对于笔算不易求出的数的平方根、立方根可以用计算器来求.

三、“两根”中的主要数学思想

1. 转化的数学思想

转化思想主要应用在:求一个复杂的数的平方根时可转化为求一个简单的数的平方根,求一个负数的立方根时,可以转化为求一个正数的立方根的相反数等.

例7(1)求 的平方根.

(2)求 的立方根.

分析:(1) 因为 = =9, 所以9的平方根为± =±3,即 的平方根为±3.

(2) 因为 =- =-2,-2的立方根是 =- ,所以 的立方根是- .

2. 分类的数学思想

分类思想主要体现在:研究平方根、算术平方根及立方根时,都是将数按其符号进行分类讨论的.如一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,就是它本身;负数没有平方根.任何一个数都有一个立方根,正数有一个正的立方根,负数有一个负的立方根,0的立方根是0等.

3. 方程的思想

可以用方程的观点、知识去处理平方根、立方根的相关问题,这也是本章的一个亮点.如:要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片,纸片的边长应是多少?就是说x2=25,求x.再如例6实际上就是渗透了方程的思想方法.

4.归纳的数学思想

归纳思想的应用较多.如在探究 等于什么时,采用了a=2,-2,3,-3,然后就归纳出 =|a|=a(a≥0),-a(a < 0)的结论.再如对 × 与 , ×与 ,用计算器算出× = , × = 后,便可归纳出 • = (a≥0,b≥0).

例8观察下列各式:

=2 ,

=3 ,

=4 ,

……

请你猜想其规律,并用含自然数n的代数式表示出来.

分析:观察后发现等号左边根号内整数移到等号右边根号外增加1,等号左边根号内分数移到等号右边后仍在根号内,所以归纳出一般式为 =(n+1) .L

注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”