空间向量及其应用

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用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量,利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量,共分三步：(1) 建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面,把立体几何问题转化为向量问题；(2) 通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系；(3) 根据运算结果的几何意义来解释相关问题。

题型一 空间向量的线性运算

【例１】 如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,

设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量：

(1) AP；

(2) A1N；

(3) MP+NC1．

分析 根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可。

解 (1) P是C1D1的中点,

AP=AA1+A1D1+D1P

=a+AD+12D1C1

=a+c+12AB

=a+c+12b．

(2) N是BC的中点,

A1N=A1A+AB+BN

=-a+b+12BC

=-a+b+12AD

=-a+b+12c．

(3) M是AA1的中点,

MP=MA+AP=12A1A+AP

=-12a+a+c+12b=12a+12b+c,

又NC1=NC+CC1=12BC+AA1

=12AD+AA1=12c+a,

MP+NC1=12a+12b+c+a+12c

=32a+12b+32c．

点拨 用已知向量来表示未知向量,以图形为指导是解题的关键。要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义。首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则,在立体几何中要灵活应用三角形法则四边形法则。

题型二 用空间向量证明平行问题

【例2】 如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点．

(1) 求证：E,F,G,H四点共面；

(2) 求证：BD∥平面EFGH.

分析 (1) 要证E,F,G,H四点共面,可寻求x,y使EG=xEF+yEH；

(2) 由向量共线得到线线平行,进而得到线面平行。

证明 (1) 如图,连接BG,则EG=EB+BG=EB+12(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH,

由共面向量定理的推论知：E,F,G,H四点共面．

(2) 因为EH=AH-12AB=12(AD-AB)=12BD,所以EH∥BD.

又EH 平面EFGH,BD 平面EFGH,所以BD∥平面EFGH．

点拨 (1) 证明共线问题的方法：若A,B,C共线,则存在唯一实数x使AB=λBC；(2) 证明共面问题的方法：若P,A,B,C共面,则存在实数x,y,使AP=xAB+yAC；(3) 证明线∥面时,可证明线所在向量a能用面内不共线向量b,c表示,即a=xb+yc,或a与面内向量d满足a∥d。

题型一 数量积及其应用

【例1】 如图,

在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,G为BC1D的重心．

(1) 试证A1,G,C三点共线；

(2) 试证A1C平面BC1D;

(3) 求点C到平面BC1D的距离．

分析 (1) 即证CG∥CA1；(2) 可证CA1•BC1=0,CA1•BD=0；

(3) 利用CG=13CA1可求。

证明 (1) CA1=CB+BA+AA1

=CB+CD+CC1,

CG=CC1+23×12(C1B+C1D)

=13(CB+CD+CC1)=13CA1,

CG∥CA1,即A1,G,C三点共线．

(2) CB=a,CD=b,CC1=c,

则|a|=|b|=|c|=a,且a•b=b•c=c•a=0,CA1=a+b+c,BC1=c-a,

CA1•BC1=(a+b+c)•(c-a)=c2-a2=0,CA1BC1,

同理可证,CA1BD.

又BD∩BC1=B,因此A1C平面BC1D．

(3) 由(2)知,A1C平面BC1D,则C到平面BC1D的距离为|CG|,

由(1)知CG=13CA1,CA1=a+b+c,

CA12=a2+b2+c2=3a2,即|CA1|=3a,因此|CG|=33a．

点拨 用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角,求两点距离或线段长度以及证明线线垂直、线面垂直等典型问题。

(1) 求向量m和n所成的角,首先应选择合适的基底,将目标向量m和n用该组基底表示出来,再求其自身的数量积及长度,最后利用公式cos〈m,n〉=m•n|m||n|。

(2) 由于线段的长度是实数,实数与向量之间如何转化,是思维中的常见障碍,在向量性质中|a|2=a•a提供了向量与实数相互转化的工具,运用此公式,可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题。

题型二 空间向量的线性运算

【例2】 如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1,底面ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点．

(1) 求BN的长；

(2) 求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．

分析 正确利用两向量的夹角公式及模长公式。

解 如图所示,以C为坐标原点建立空间直角坐标系．

(1) 依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),

|BN|=(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=3,BN的长为3．

(2) 依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),

BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2),BA1•CB1=3,|BA1|=6,|CB1|=5．

cos〈BA1,CB1〉=BA1•CB1|BA1||CB1|=3010．

异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为3010．

点拨 利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的解题步骤：(1) 根据几何图形的特点建立适当的空间坐标系；(2) 利用题设条件写出有关点的坐标,进而获得相关向量的坐标；(3) 利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角,并将它转化为异面直线所成的角。

题型三 用向量方法求线面角

【例3】 如图,已知三棱锥PABC中,PA平面ABC,ABAC,PA=AC=12AB,

N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点．

(1) 证明：CMSN；

(2) 求SN与平面CMN所成角的大小．

分析 根据条件建立空间直角坐标系,利用向量坐标运算证明、求解。

解 (1) 设PA=1,以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图所示,则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M1,0,12,N12,0,0,S1,12,0．

所以CM=1,-1,12,SN=-12,-12,0,

因为CM•SN=-12+12+0=0,

所以CMSN．

(2) NC=-12,1,0,设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,

则a•CM=0,a•NC=0,x-y+12z=0,

-12x+y=0,令x=2,得a=(2,1,-2),cos〈a,SN〉=a•SN|a||SN|=-22,得SN与平面CMN所成角为45°．

点拨 (1) 本题考查异面直线垂直、线面角的求法、空间直角坐标系的建立等知识,重点考查了在空间直角坐标系中点的坐标的求法,同时考查空间想象能力和推理运算能力,难度适中。

(2) 利用向量法求线面角的方法：一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；二是通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角。

题型四 用向量方法求二面角

【例4】 如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在线段AB,AD上,

AE=EB=AF=23FD=4.沿直线EF将AEF翻折成A′EF,使平面A′EF平面BEF．

(1) 求二面角A′FDC的余弦值；

(2) 点M,N分别在线段FD,BC上,若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折,使C与A′重合,求线段FM的长．

分析 (1) 建立空间直角坐标系后,求两个面的法向量所成的角；(2) 用待定系数法求解。

解 (1) 取线段EF的中点H,连接A′H.

A′E=A′F及H是EF的中点,A′HEF.又平面A′EF平面BEF,A′H平面A′EF,A′H平面BEF.如图,建立空间直角坐标系Axyz,

则A′(2,2,22),C(10,8,0),F(4,0,0),D(10,0,0)．

故FA′=(-2,2,22),FD=(6,0,0).

设n=(x,y,z)为平面A′FD的一个法向量,

n•FA′=0,n•FD=0,-2x+2y+22z=0,6x=0.取z=2,则n=(0,-2,2)．

又平面BEF的一个法向量m=(0,0,1),故cos〈n,m〉=33,二面角A′FDC的余弦值为33.

(2) 设FM=x,则M(4+x,0,0).翻折后C与A′重合,CM=A′M,故(6-x)2+82+02=(-2-x)2+22+(22)2,得x=214,经检验,此时点N在直线BC上.FM=214．

点拨 利用空间向量方法求二面角,可以有两种办法：一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2,则二面角的大小等于〈n1,n2〉(或π-〈n1,n2〉)。注意：利用空间向量方法求二面角时,注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角。

牛刀小试

1. 已知a=(cosθ,1,sinθ),b=(sinθ,1,cosθ),则向量a+b与a-b的夹角是 ．

2. 若向量a=(1,λ,2),b=(-2,1,1),a,b夹角的余弦值为16,则λ= ．

3. 若a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是 ．

4. 设a=(2,6,-3),则与a平行的单位向量的坐标为 .

5. 平行六面体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,DD1,D1C1的中点,请选择适当的基底向量证明：

(1) EG∥AC；

(2) 平面EFG∥平面AB1C．

6. 四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PD底面ABCD,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点．

(1) 求证：EF平面PAB；

(2) 设AB=2BC,求AC与平面AEF所成角的正弦值．

【参考答案】

1. 90° 2. 1 3. x

4. 27,67,-37或-27,-67,37

5. 证明:(1) 取AB=a,AD=b,AA1=c为一组基底,

E,F,G分别是A1D1,DD1,D1C1的中点,

EG=ED1+D1G=12(a+b),

AC=AB+BC=a+b,EG=12AC,

即EG∥AC,从而EG∥AC．

(2) 由(1)有EG∥AC，EG平面AB1C，

AC平面AB1C，EG∥平面AB1C，

同理FG∥平面AB1C，

FG∩EG=G，平面EFG∥平面AB1C.

6. 证明：(1) 以D为原点,DC,DA,DP的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系．

设PD=1,AB=a,则C(a,0,0),A(0,1,0),P(0,0,1),Ea2,0,0,B(a,1,0),Fa2,12,12．

EF=0,12,12,AB=(a,0,0),AP=(0,-1,1).EF•AB=0,EF•AP=0．

EFAB,EFPA,所以EF平面PAB.

(2) AB=2BC,a=2.从而AC=(2,-1,0),AE=22,-1,0,EF=0,12,12．

设平面AEF的一个法向量为n=(x,y,z),则

n•AE=0，

n•EF=0，22x-y=0，

12y+12z=0.

令x=2,则y=1,z=-1,

平面AEF的一个法向量为n=(2,1,-1).设AC与平面AEF所成角为α,

则sinα=|cos〈AC,n〉|=|AC•n||AC||n|=36.

AC与平面AEF所成角的正弦值为36．

（作者：曹瑞彬，江苏省启东中学，数学特级教师）