复合Poisson-Geometric风险模型下盈余首次达到给定水平的时间分析

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摘要: 对保费收入为复合Poisson过程,而理赔次数为复合poisson-geometric过程的风险模型进行研究,利用鞅论的知识,得到了盈余首次达到给定水平的时刻的拉普拉斯变换、期望、方差和三阶中心矩.

关键词: Poisson-Geometric过程；鞅；停时

中图分类号:O 211.67

文标志码:A文章编号:1672-8513(2012)01-0026-04

Time Analysis of the Surplus Reaching a Given Level for the First

Time in the Compound Poisson-Geometric Risk Model

ZHAO Jine, WANG Guihong, LONG Yao

(1. College of Mathematics, Honghe University, Mengzi 661100, China;2.Department of Computation and Science, Yuxi Agricultural Vocational College, Yuxi 653106, China)

Abstract: A risk model, in which the premium income follows the compound Poisson process and the claim numbers is a compound Poisson-Geometric process, is proposed．By applying the martingale approach, Laplace transformation of the time when the surplus reaches a given level for the first time is discussed, and the expectation, its variance and its third central moment are obtained.

Key words: Poisson-Geometric process；martingale；stopping time

经典风险模型的研究源于瑞典精算师Filip Lundberg于1903年发表的博士论文［1］,至今已有100多年的历史.自经典风险模型提出后,结合实际情况,许多学者对其进行了推广,如对所收保费的研究［2-3］,考虑利率的影响［4］,考虑分红及保险市场的不确定因素［5］等,并得到了许多有关破产概率方面的结果,为保险公司的稳定运作提供了理论基础,是风险管理的重要工具.而在对经典风险模型的推广过程中，国内外许多学者在保险实务中考虑到出事故次数与实际索赔次数之间存在的偏差,引进了一类称为复合Poisson-Geometric过程的风险模型.文［6］利用无穷小微元法研究了该模型的破产概率公式及其满足的更新方程,文［7］用更新思想求出了该模型破产概率的积分方程,并得到了Cramér-Lundberg近似,文［8］借助文［6］的方法求出了Gerber-Shiu折现罚金函数所满足的更新方程,得到了破产概率的Pollazek-Khinchin公式. 然而现实中“破产”发生的可能性非常的小,而什么时候保险公司的盈余达到了一个给定的水平越来越受到人们的关注(见文［9］).受以上文启发,本文对保费收入为复合Poisson过程,而理赔次数为复合Poisson-Geometric过程的风险模型进行研究,利用鞅论的知识,得到了盈余首次达到给定水平的时刻的拉普拉斯变换、期望、方差和三阶中心矩.

1 模型引入

参考文:

［1］LUNDBERG F I. Approximerad framstallning av sannolikhetsfunktionen:II, atersforsakring av kollektivrisker［D］. Uppsala: Almqvist & Wiksell,1903.

［2］龚日朝,李凤军.双Poisson风险模型下的破产概率［J］.湘潭师范学院学报:自然科学版,2001,23(1):55-57.

［3］BOIKOV A V. The Cramér-Lundberg model with stochastic premium process［J］.Theory of Probability and its Applications,2003,47:489-493.

［4］王贵红,赵金娥,龙瑶,等.一类双复合二项风险模型的破产概率［J］.云南民族大学学报:自然科学版,2010,19(4):278-281.

［5］赵金娥,何树红,王贵红.带线性红利和干扰的双复合Poisson风险模型［J］.云南民族大学学报:自然科学版,2010,19(1):25-27.

［6］毛泽春,刘锦萼.索赔次数为复合Poisson-Geometric过程的风险模型及破产概率［J］.应用数学学报,2005,28(3):419-428.

［7］ MINKOVA L D. The Pólya-Aeppli process and ruin problems［J］.Journal of Aapplied Mathematics and Stochastic,2004,3:221-234.

［8］廖基定,龚日朝,刘再明,等.复合Poisson-Geometric风险模型Gerber-Shiu折现惩罚函数［J］.应用数学学报,2007,30(6):1076-1085.

［9］GERBER H U. When does the surplus reach a given target［J］. Insurance: Mathematics and Economics,1990,9(2):115-119.

［10］张淑娜,陈红燕,胡亦钧.一类推广的复合Poisson-Geometric风险模型破产概率［J］.数学杂志,2009,29(4):567-572.