基于t-范数的模糊逻辑

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇基于t-范数的模糊逻辑范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

钦州学院物理与材料科学学院，广西钦州535000

摘要 模糊集与模糊推理方法为描述和处理事物的模糊性和系统的不确定性以及模拟人的智能和决策推理能力提供了十分有效的工具。本文就模糊推理的模糊逻辑在国内外研究历史、现状和最新研究成果进行了综述，简要分析了基本逻辑系统BL与t-范数、模糊推理的全蕴涵三I、基于左连续t-范数的模糊逻辑系统MTL和关于模糊蕴涵算子与合参t-范数的研究情况。

关键词 t-范数；模糊推理；模糊逻辑

中图分类号O142 文献标识码A 文章编号 1674-6708（2012）61-0077-02

0 引言

模糊集与模糊推理方法为描述和处理事物的模糊性和系统的不确定性以及模拟人的智能和决策推理能力提供了十分有效的工具。近年来模糊推理的逻辑基础得到活跃而深入的研究，本文就国内外研究历史、现状和最新研究成果教学论述。

1 模糊集合论的发展与争论

Zadeh 于1965年创立了模糊集合论[1]，并在1973年提出模糊推理的CRI方法，从而为描述和处理事物的模糊性和系统的不确定性以及模拟人的智能和决策推理能力提供了十分有效的工具模糊推理被应用于工业控制与家电产品的制造中，取得了极大成功。然而，与应用相比，模糊推理的理论基础并非无懈可击，如1993年7月Elkan博士(现为加利福尼亚大学教授)在美国第11届人工智能年会上作了题为“模糊逻辑的似是而非的成功” 的报告[2]， 引起了一场轩然大波。 模糊界和人工智能界的15位专家、学者对Elkan的文章进行评论。关于这场争论，吴望名教授在文献[3]中进行了介绍和讨论，应明生教授在文献[4]中说: “虽然Elkan 的许多观点是错误的，吴望名己经给予一定的澄清，但是，我们也一定看到模糊逻辑缺乏系统深入的理论研究却是不争的事实”。当然这场争论并未取得一致的意见事实上，这场争论始终没有平息。同时，也正因为如此，近年来模糊推理的逻辑基础得到活跃而深入的研究，我国学者在这一领域取得了众多重要成果。

2 基本逻辑系统BL与t-范数

模糊集与模糊推理方法为描述和处理事物的模糊性和系统的不确定性以及模拟人的智能和决策推理能力提供了十分有效的工具，近年来模糊推理的逻辑基础得到活跃而深入的研究。在模糊逻辑理论中，长期占主导地位的是基于t-范数（也称为t-模或三角模）的逻辑系统（也称为t-范数逻辑） 在这类逻辑中，使用t-范数作为合取联结词的解释，并由此解释其他命题联结词，如蕴涵、析取联结词分别解释为由t-范数诱导的剩余型蕴涵、与t-范数关于否定算子对偶的t-余范数，而否定联结词通常经由蕴涵解释为AO。这样定义的逻辑理论具有许多优良的逻辑性质，反映了人类日常思维与推理中的许多逻辑特征，这类逻辑理论在模糊推理和人工智能研究中已经获得广泛的应用。

1996年以来，捷克逻辑学专家Hajek发表了一系列富有意义的研究成果，其中基本逻辑系统BL的提出对模糊逻辑的基础研究影响较大，几个重要的模糊逻辑系统都是BL系统的语义扩张(即公理模式扩张，关于语义扩张的严格定义，如Lukasiewicz连续值系统、Godel系统、积逻辑系统等关于逻辑系统BL的相关理论，集中反映在文献[5] 中Hajek还基于剩余格理论提出了与基本逻辑BL对应的BL-代数理论，它包括MV-代数[6]、Godel代数和积代数作为特例。每个连续t-范数唯一地确定单位区间[0,1]上一个BL-代数，文献[5]提出了这样的公开问题：如果公式A是[0,1] 上每个BL-代数中的重言式，那么A在系统BL中是否必定可证? 换言之，形式系统BL是否是所有连续t-模基逻辑的公共的完备公理化？2000年，这个问题给出了肯定的回答[7]。

3 模糊推理的全蕴涵三I

同样是1996年，为了寻求模糊推理的可靠逻辑基础，王国俊教授基于对模糊逻辑与模糊推理方面存在问题的分析，在全国第七届多值逻辑与模糊逻辑年会上，提出了一个新的形式演绎系统L*此后，该系统经多次修改完善，并发展成一整套理论 [8-11]。 系统L* 是基于Ro t-范数及其剩余蕴涵Ro蕴涵算子(也称为修正的Kleene蕴涵算子)的，具有许多优良的逻辑性质。与系统L*相配套的代数结构是Ro-代数，它的一种推广形式被称为弱Ro -代数。它们与BL-代数互不包含[12]。同时，王国俊教授倡导模糊逻辑与模糊推理的结合研究，并于1999年提出了模糊推理的全蕴涵三I算法(简称为三I算法 [13]) ，有效地改进了Zadeh在1973年提出的求解FMP问题的合成推理规则(RI) 。 关于三I 算法，还有一系列文献对其进行更深入的研究[14] 。

4 基于左连续t-范数的模糊逻辑系统MTL

2001年，西班牙学者Esteva 和GodO建立了并得到几个语义扩张系统[15]，即弱幂零极小逻辑WNM，对合Monoidal t-范数逻辑IMTL 及幂零极小逻辑NM。同时，提出了与这些逻辑系统相关的代数结构MTL-代数，WNM-代数，IMTL-代数和NM-代数，构建了这些形式系统的语义。 MTL逻辑系统的标准完备性的证明由Jenei与Montagna完成[16]。有趣的是，2003年裴道武证明了系统L*与NM 是等价的，Ro-代数和NM-代数实际上是相同的代数系统，弱Ro代数和IMTL-代数也是相同的代数系统[17]。

5 关于模糊蕴涵算子与合参t-范数

在模糊逻辑中，选择怎样的蕴涵算子对模糊推理的效果有直接影响。如上所述，在现已建立的各种模糊逻辑系统中，所选择的蕴涵算子基本上都与某种t模相伴，即均为剩余蕴涵，此外还有一些其他类型的模糊蕴涵算子。一个值得注意的研究思路是带参数的模糊蕴涵算子， 如Klement 与Navara 在1999 年研究了基于带参数的Frank t- 模的模糊逻辑系统[18]；吴望名教授、王国俊教授等分别在2000年、2003年研究了带参数的Kleene系统[19]；而美国学者Whalen 也于2003 年在Fuzzy Sets & Systems上发表了长达50页的论文[20]，专门论述带参数的Schweizer- Sklar R-蕴涵，并将其中的参数p与模糊规则之间交互作用的强度联系起来。为了刻画逻辑柔性，何华灿教授在建立新逻辑体系时选择了带参数的t-范数，并用广义相关性和广义自相关性来描述代表柔性的参数的意义。同时从不同侧面深入论述了含参联结词在模糊逻辑、模糊控制、决策支持、神经网络等中的重要意义等。因此，在模糊逻辑体系中加入适当参数，己成为一个重要而有意义的研究方向，这可能是模糊逻辑与模糊推理相结合的新途径。

参考文献

[1]Zadeh L A.Fuzzy sets.Information Control[J]，1965，8：338-353.

[2]Elkan C.The paradoxical success of fuzzy logic. IEEE Expert[J]，1994，9(4)：3-8.

[3]吴望名.关于模糊逻辑的一场争论.模糊系统与数学[J]，1995，9(2)：1-10.

[4]应明生.模糊逻辑的紧致性.科学通报[J]，1998，43(4)：379-383.

[5]Hajek P.Met mathematics of Fuzzy Logic.Kluwer Academic Publishers[J].1998.

[6]Chang C C.Algebraic analysis of many-valued logics.Transactions of the American Methodical Society[J]，1958，88：467-490.

[7]Cignoli R, Esteva F, Godo L, et al, Basic fuzzy logic is the logic of continuous t-norms and their residua.Soft Computing[J]，2000，4：106-112.

[8]王国俊.非经典数理逻辑与近似推理[M].北京：科学出版社，2000.

[9]王国俊.数理逻辑引论与归结原理[M].2版.北京：科学出版社，2006.

[10]裴道武，王国俊.形式系统L* 的完备性及其应用[J].中国科学( E辑)，2002，32(1)：56-64.

[11]王国俊，钱桂生，党创寅.命题演算系统L*与谓词演算系统K*中统一的近似推理理论.中国科学(E辑)[J]，2004，34(10) ：1110-1122.

[12]王国俊.MV-代数、BL-代数、Ro-代数与多值逻辑[J].模糊系统与数学，2002，16(2)：1-15.

[13]王国俊.模糊推理的全蕴涵三I算法[J].中国科学(E 辑)，1999，29(1)：43-53.

[14]王国俊，宋庆燕.一种新型的三I算法及其逻辑基础[J].自然科学进展，2003，13(6)：575-581.

[15]Esteva F, Godo L.Monoidal t-norm based logic : towards a logic for left-continuous t-norms[J].Fuzzy Sets and Systems，2001，124: 271-288.

[16]Jenei S, Montagna F.A proof of standard completeness for Esteva and Godo's logic MTL.[J]Studia Logica，2002，70：183-192.

[17]Pei D W.Simplification and independence of axioms of fuzzy logic systems IMTL and NM[J].Fuzzy Sets and Systems，2005，152: 303-320.

[18]Klement E P, Navara M.Propositional Fuzzy Logics based on Frank t-norms:A comparison.in Fuzzy Sets, Logics and Reasoning about Knowledge, D.Dubois et al.Kluwer Academic Publishers[M], 1999.

[19]吴望名.参数Kleene系统中的广义重言式[J].模糊系统与数学，2000，14(1)：1-7.

[20]Whalen T.Parameterized R-implications[J].Fuzzy Sets and Systems，2003，134：231-281.