灵活运用数学思想解题
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在初中阶段,常用的数学思想有方程思想、化归思想、数形结合思想等.下面例析几种常见的数学思想方法,供同学们在复习时参考.
一、方程思想
通过设未知数,寻找已知量与未知量之间的等量关系,构造方程或方程组,然后求出它们的解,完成未知量向已知量的转化,这种解决问题的思想称为方程思想,这一思想在我国古代的数学著作中早已提到.请看下面的例子.
例1 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部经典的数学著作.在此书的《方程》一章里,一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的,为看图方便,我们把它改为横排,如图1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来,就是3x+2y=19,x+4y=23.类似地,图2所示的算筹图我们可以表述为().
A. 2x+y=114x+3y=27 B.2x+y=114x+3y=22
C. 3x+2y=19x+4y=23D.2x+y=64x+3y=27
解析:这是一道以我国古代的《九章算术》为背景的中考题,题型新颖,考查同学们通过看图获取新知识的能力.根据图1所示的算筹图及其对应的方程组不难分析得到“一竖”表示1,“一上横”表示5,“一中横”表示10,故选A.
例2如图3,点B、C在线段AD上,E是AB的中点,F是CD的中点,若AB是CD的2倍,AE比CF长4,BC=7,求AD的长.
解析:由线段中点的意义,结合图形,利用线段的和差关系及倍数关系,找出线段AD与AE、CF、BC的等量关系.
若设CD为2x,则AB=4x,AE=2x,CF=x,再根据AE比CF长4,可以列出方程求解.
因为E、F分别为AB、CD的中点,所以2AE=2BE=AB,2CF=2DF=CD,
根据题意,得
AE-CF=2x-x=4,所以x=4.
所以AB=4x=16,CD=2x=8,
所以AD=AB+BC+CD=16+7+8=31.
二、统计思想
统计学是一门研究如何收集、整理、分析、反映事物总体信息的数字资料,并以此为依据对总体特征作出合理的判断和预测的学科.利用统计思想解决生活中的一些问题往往会显得清晰、简单.
例3 在“首届中国西部(银川)房・车生活文化节”期间,某汽车经销商推出A、B、C、D四种型号的小轿车共1000辆进行展销.C型号轿车销售的成交率为50%,其它型号轿车的销售情况绘制在图4和图5两幅尚不完整的统计图中.
(1)参加展销的D型号轿车有多少辆?
(2)请你将图5的统计图补充完整;
(3)通过计算说明,哪一种型号的轿车销售情况最好?
解析:(1)参加展销的D型号轿车的辆数为1000×(1-35%-20%-20%)=250(辆);
(2)1000×20%×50%=100(辆),补充的部分为图6的虚线框;
经比较得出D型号的轿车销售情况最好.
三、转化思想
在研究数学问题时,我们要学会利用转化思想,将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题,从而求解原问题的答案.
例4 中国象棋盘上的马无论在什么位置,走5步都能回到原来的位置吗?为什么?
解析:解答本题的关键是将这个实际问题转化为一个数学问题.如果把棋盘上的马看成平面中的一个点,将棋盘上的一个小方格看成一个单位正方形,再联想到平面直角坐标系.那么问题便可迎刃而解了.
如图7,以马的初始位置为坐标原点建立平面直角坐标系.设马的初始位置为P(0,0),跳一步后的坐标为P1(x1,y1).由于“马走日”,这样x1、y1便只能是1,2这四个数中的一个数,若x1是1中的一个数,则y1只能在2中取值了,反之,若y1是 1中的一个数,则x1是 2中的一个数.不管马往哪个方向跳,每跳一步,它的坐标改变量之和x1+y1只能是四个数1,-1,3,-3中的一个数.设马跳第二步后的坐标为P2(x1+x2,y1+y2),同理可得x2+y2只能是四个数1、-1、3、-3中的一个数.同理设马跳了五步后的坐标为P5(x1+x2+x3+x4+x5,y1+y2+y3+y4+y5).马要跳回原来的位置,必须满足
x1+x2+x3+x4+x5=0,①y1+y2+y3+y4+y5=0. ②
由①+②,得(x1+y1)+(x2+y2)+(x3+y3)+(x4+y4)+(x5+y5)=0.
但这个等式是不成立的,因为等式左边中每项都只能是四个数1、-1、3、-3中的一个数,而五个括号内的数都是奇数,五个奇数的和不可能是零,因此马不能回到原来的位置.
四、数形结合思想
在研究问题的过程中,注意把数和形结合起来考虑,再根据具体问题的情景,把图形性质的问题转化为数量关系的问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,从而找到简单的解题方法.
例5某种零件的合格品规格为(φ50+0.0 4 )mm,其中有一个不合格零件与合格品的要求相差0.02mm,这个不合格零件的直径其最大的可能值与最小的可能值的差是 mm.
解析:本题已知条件中不合格品的取值范围不明确,若作出数轴如图8,选用原点O表示直径为50mm的合格品,A、B分别表示合格品波动的上、下限,C、D分别表示不合格品波动的上、下限,则容易得出答案.
根据题意,A点表示的数为0.04,B点表示的数为-0.03,C点表示的数为0.06,D点表示的数为-0.05,所以这个不合格零件的直径其最大的可能值与最小的可能值的差CD=0.06-(-0.05)=0.11(mm).
例6 求1+2+3+4+…+n的值,其中n是正整数.
解析:本题如果采用代数的方法即首尾两个数相加求解,问题虽然可以解决,但需要对n的奇偶性进行讨论,所以解题过程会显得复杂.
如果采用数形结合的思想方法来解决本题,那么问题就会容易多了.
五、建模思想
建模思想是从实际问题中抽象出数学模型,然后用适当的方法解决这一问题的思想,其一般步骤是:从实际问题中获取有用的信息――分析和处理相关的信息――建立数学模型――解决实际问题.
例7 已知甲、乙两辆汽车同时从A地出发同向而行.
(1)若甲车的速度是乙车的2倍,甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇,相遇时乙车走了1小时.求甲、乙两车的速度;
(2)假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油,每升汽油可以行驶10千米,途中不能再加油,但两车可以互相借用对方的油,若两车都必须沿原路返回到出发点A,请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A,并求出甲车一共行驶了多少千米?
解析:(1)设甲、乙两车速度分别是x千米/时和y千米/时.
根据题意,得x=2y,x+y=90×2.
解得x=120,y=60.
即甲、乙两车速度分别是120千米/时、60千米/时.
(2)方案一:设甲汽车尽可能地远离出发点A,且一共行驶了x千米,乙汽车一共行驶了y千米,则
x+y=200×10×2,x-y≤200×10.
2x≤200×10×3,
即x≤3000.
故甲、乙一起行驶到离A点500千米处,然后甲向乙借油50升,乙停止不动,甲再前进1000千米返回到乙停止的地点,再向乙借油50升,最后甲、乙一起返回到A点,此时,甲车行驶了共3000千米.
如图10所示
方案二:先把乙车的油平均分成4份,即每份50升.当甲、乙一起行驶,两车都用了50升油时,甲向乙借油50升,乙停止不动,甲继续行驶,直到用了100升油时返回,到乙停止的地点甲又用了100升油,此时甲的油已经用完,再向乙借油50升,甲、乙一起返回到A点.
此时,甲车行驶了50×10×2+100×10×2=3000(千米).
点评:本题在第(2)问的解答过程中,通过建立不同的数学模型,得出了两种不同的解答方法.在以后的学习过程中,我们还要学会建立函数模型,分析现实生活中的变量之间的关系.建立几何模型解决面积计算问题等.
除了以上介绍的数学思想外,还有分类讨论思想、化归思想等.限于篇幅,在这里就不一一介绍,希望同学们在以后的学习中,要注意归纳和总结.