微分概念教学课堂设计探讨
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摘要：通过创设实例情境，引发学生学习兴趣；通过反例教学，加深学生对概念的理解；运用启发式教学，通过类比和化归，建立导数与微分之间的关系；通过精讲多练，巩固学生所学知识。
关键词：
中图分类号：
G4
文献标识码：A
文章编号：16723198（2013）21014602
微分概念是教学的重点，更是难点。以前在教学中，这一块知识的传授一直是令人头疼的地方，感觉已经尽了很大的努力，学生还是不能理解，即使表面会了，可以到应用还是不行，而且所学知识很快又忘了。这说明他们最开始还是没掌握好，没理解透，概念没有真正建立起来。笔者重新对微分概念进行了教学设计后，取得了较好的效果。
1新课引入
一般的课堂导入是这样的：在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量x有微小变化时，求函数y=f（x）的微小改变量Δy=f（x+Δx）-f（x）。这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了。然而，对于较复杂的函数f（x），差值f（x+Δx）-f（x）却是一个更复杂的表达式，不易求出其值。一个想法是：设法将Δy表示成Δx的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单问题。
可是这种导入，学生往往不感兴趣，难以进入状态。既然微分是实现增量线性化的一种数学模型，即微分函数的实质：局部像条直线。那么怎么让学生直观地感受到这一点呢？
我先是提问学生：地球是什么形状的？学生都感到好笑：地球当然是圆的。这时我又提出个问题：那么古时候的人们为什么以为地球是个大平面？学生七嘴八舌地说：那时科学不发达，在他们眼睛看到的范围内，地球看起来就是个大平面。这时候我觉得时机到了，就跟学生说，其实曲线的增量很小（或相对很小时），例如在人眼所能看到的范围内，这个距离增量相对于地球而言是非常小的，此时曲线可以近似的看作切线，这就是微分的几何本质，所以古时候的人们单凭自己的肉眼就犯了错误。通过实例来引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，加强学生的感性认识，提高学生的学习兴趣。
2新课讲授
2.1微分的定义
（1）概念引入。
在这部分教学中，适当地寻找或者构造一些反例，能更好地理解概念本身的内涵和外延。可以举一个微分不存在的例子加深学生对定义的理解。
2.2函数可微的条件
微分定义较为抽象，为了深刻理解其含义，我提出几个问题让学生思考并回答：（1）什么样的函数是可微的？（2）什么是函数的微分？（3）A和什么有关呢？
让学生观察引例，学生很快就发现了“秘密”：A=f′（x0）。这时，要适时地将导数与微分概念联系起来对比和分析：（1）若函数可微，那么函数是否可导？（2）若函数可导，那么函数是否可微？通过这两个问题的解答结果，从而得到函数可微的充分必要条件以及函数的微分公式。进而得到微分公式：dy=f′（x）dx，上式变形为dydx=f′（x）。即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商，因此，导数又称为“微商”。
在这部分教学中，把导数作为“微商”重新理解了一下复合函数求导的链式法则和反函数求导法则。为了加深学生印象，我讲了一个笑话：说有一个学生抄袭别人的作业，但后来却自以为聪明地把dydx中的d约掉了。
2.3微分的几何意义
以前的这块教学中，我只是简单地介绍dy所在位置和大小，而没有从图形和数值上突出局部线性化含义。现在借助多媒体进行图形演示，用flash把图像放大，通过不断的移动x的位置，让学生观察曲线和切线关系。学生通过自己的观察得出：x离x0的距离越小，曲线越可近似地看作一条直线，同时也解决了我们在引入新课时所提出的问题。
2.4基本初等函数的微分公式与微分运算法则
牢牢抓住微分和导数关系dy=f′（x）dx，进行对比教学即可。
2.5微分形式不变性
无论u是自变量还是复合函数的中间变量，函数y=f（u）的微分形式总是可以按微分定义的形式来写，即有dy=f′（u）du这一性质称为微分形式的不变性。利用这一特性，可以简化微分的有关运算。但微分形式不变性是教学的难点，教师可以总结一句话让学生牢记：“函数对哪个变量求导就乘以哪个变量的微分”。
2.6利用微分进行近似计算
利用微分作近似计算，有利于培养学生灵活运用微积分知识的基础内容，也使部分达不到较高教学要求的、数学基础较弱的学生，对基础性内容有所了解，不至于什么都学不到。
3例题选讲
3.1微分的定义内容选讲了两道例题
例1. 求函数y=x2当x由1改变到1.01的微分。
例2. 求函数y=x3在x=2处的微分。
3.2基本初等函数的微分公式与微分运算法则的应用内容选讲了两道例题
例3. 求函数y=x3e2x的微分。
例4. 求函数y=sinxx的微分。
3.3微分形式的不变性内容选讲了二道例题
例5. 在d（）=cosωtdt；的括号中填入适当的函数，使等式成立。
3.4微分近似计算和线性化内容选讲了三道例题
例6. 求f（x）=1+x在x=0与x=3处的线性化。
注：通过这道题使学生进一步明确不同点的近似直线不同。
例7. 半径10厘米的金属圆片加热后，半径伸长了005厘米，问面积近似增大了多少？
例8. 计算e-0.03的近似值。
有些例题由学生独立完成后，再由教师做点评。例题设置由易到难，具有层次性，便于学生解题能力的提升。通过例题可以检测学生对知识的掌握情况，找到差距，更进一步巩固和深化新知，让学生知道数学重在应用，培养学生运用所学知识解决问题的能力，有利于学生养成良好的思考习惯。
4归纳总结、分层作业
引导学生回顾本节课学到概念、方法、定理和公式，锻炼学生的归纳概括能力，有利于学生理清思路，从整体上把握内容，抓住要点。布置的作业分巩固题、思考题和提高题三种类型，以适用不同层次学生的需要，从而分类推进，促进学生的共同发展，同时也要考虑到为学习下节课的内容做好铺垫。
参考文献
[1]吴赣昌.微积分[M].北京：中国人民大学出版社，2011.
[2]李令斗，王敏.高等数学中微分概念的说课[J].教育教学论坛，2012，（07）.