充要条件的判断(全文)

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在判断充要条件时，常常会出现两类错误：一是分不清条件和结论，二是理不清条件和结论的逻辑关

充要条件是高中数学中的重要概念，主要研究命题条件与结论的逻辑关系.

在浙江省的高考数学卷中，判断充要条件的问题常出现在选择题中，一般会与函数、不等式、立体几何等知识结合起来进行考查.

例 [2013年浙江暨阳联谊学校高三联考（理科）第4题] 若a，b为实数，则“3a■”的

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

错解1：由3aa，由■>■解得b>a.若b>a，则b>a，必要性成立；若b>a，b>a不一定成立，充分性不成立.大约有15%的同学选B.

错解2：由3aa，由■>■解得b>a.若b>a，则b>a，充分性成立；若b>a，b>a不一定成立，必要性不成立.大约有20%的同学选A.

错因1：没有理解充要条件的定义.

在判断充要条件时，若题目表述为“p是q的条件”，则p是条件，q是结论；若题目表述为“p的条件是q”，则q是条件， p是结论.由条件出发推导结论可判断充分性，由结论出发推导条件可判断必要性.

由题意可知，“3a■”是结论.通过等价转化，可知题目要判断的是条件“b>a”与结论“b>a”的逻辑关系.由条件“b>a”推导结论“b>a”可判断充分性，由结论“b>a” 推导条件“b>a”可判断必要性.

一些同学分不清“b>a”与“b>a”究竟谁是条件、谁是结论，也不知道充分性与必要性的判断方向，胡乱推导，由条件“b>a”推导结论“b>a”来判断必要性，由结论“b>a”推导条件“b>a”来判断充分性，完全颠倒了.

错因2：没有认清b>a，b>a两者之间的逻辑关系.

错解1和错解2中都出现了错误“若b>a，则b>a”.有的同学看到b>a，就想当然地认为b>a>0，由此得到b>a.事实上，如果0>b>a，则b0>a，则b>a，b=a，ba”不能推出结论“b>a”，充分性不成立.

正解1：直接利用定义判断充要条件.

利用定义求解可分三步走：先分清哪个是条件、哪个是结论，再根据定义判断充分性与必要性，最后综合得出结论.这种方法适用于判断充要条件的任何题型.

3a■为结论.当3aa时，若0>b>a或b>0>a，结论■>■未必成立，所以充分性不成立；当■>■即b>a时，若b0>b，条件3a

正解2：利用等价命题判断充要条件.

当所给命题的条件与结论都比较复杂时，可以分别对条件与结论进行等价转化，得到比较简单或容易推断的命题，再进行判断.

由条件3aa，由结论■>■解得b>a，由此可将原命题等价转化为判断条件“b>a”与结论“b>a”的逻辑关系.当b>a时，若0>b>a或b>0>a， b>a未必成立，故充分性不成立；当b>a时，若b0>b，b>a不成立，故必要性不成立.选D.

正解3：利用反例法判断充要条件.

若所给命题结构较为复杂，直接推断p？圯q是否成立有困难，不妨考虑用反例法求解.若能找到一个例子使p■q，即可证明p？圯q不成立.但要证明p？圯q成立，则必须经过严格的推导，仅靠一两个例子说明p？圯q成立是不够的.

取a=-2，b=1，3a■不成立，所以充分性不成立；取a=1，b=-2，■>■成立，但3a

【练一练】

已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A>0，ω>0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=■”的

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

【参考答案】 B

充要条件的判断