函数的对称性及其应用

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函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文从必修1中函数的奇偶性出发将其推广，就函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。

一、函数自身的对称性探究

必修1中奇函数的定义：若函数f(x)，对于定义域中的任意x都有f(-x)=-f(x)，则f(x)为奇函数。

由奇函数的定义知，奇函数的图象关于原点对称。将这种中心对称的特点进行推广得到下面的性质。

定理1 函数y=f(x)的图象关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a－x)=2b。

从数形结合分析：把(x,f(x))、(2a-x,f(2a-x))看成f(x)图象上的两点坐标，由中点坐标公式可知这两点关于点(a,b)对称。

从代数方面证明：（必要性）设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P′（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图象上，2b－y=f(2a－x)，即y+f(2a－x)=2b。

故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y=f(x)图象上任一点，则y0=f(x0)。

f(x)+f(2a－x)=2b，f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。

故点P′（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)图像上，而点P与点P′关于点A(a,b)对称，充分性得征。

必修1中偶函数的定义：若函数f(x)，对于定义域中的任意x都有f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数。

由偶函数的定义知，偶函数的图象关于y轴（即直线x=0）对称。将这种轴对称的特点进行推广得到下面的性质。

定理2 函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a－x)，即f(x)=f(2a－x)。

可以仿照定理1的证明方法进行证明。

定理3 ①若函数y=f(x)图象同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。

②若函数y=f(x)图象同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。

③若函数y=f(x)图象既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4|a－b|是其一个周期。

①的证明：函数y=f(x)图象同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称，f(x)+f(2a－x)=2c，f(x)+f(2b－x)=2c,两式相减得

f(2a－x)=f(2b－x)，用x代2a－x得

f(x)=f(2b－2a+x)。

所以y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。

仿照①的证明过程②的证明留给读者，以下给出③的证明：

函数y=f(x)图象既关于点A(a,c)成中心对称，f(x)+f(2a－x)=2c。用2b－x代x，得

f(2b－x)+f\[2a－(2b－x)\]=2c。

又函数y=f(x)图象直线x=b成轴对称，

f(2b－x)=f(x)代入（*），得

f(x)=2c－f\[2(a－b)+x\]。（**）

用2（a－b）－x代x，得

f\[2(a－b)+x\]=2c－f\[4(a－b)+x\]，代入（**），得f(x)=f\[4(a－b)+x\],故y=f(x)是周期函数，且4|a－b|是其一个周期。

二、不同函数对称性的探究

定理4 函数y=f(x)与y=2b－f(2a－x)的图象关于点A(a,b)成中心对称。

定理5 ①函数y=f(x)与y=f(2a－x)的图象关于直线x=a成轴对称。

②函数y=f(x)与a－x=f(a－y)的图象关于直线x+y=a成轴对称。

③函数y=f(x)与x－a=f(y+a)的图象关于直线x－y=a成轴对称。

推论：函数y=f(x)的图象与x=f(y)的图象关于直线x=y成轴对称。可以发现不同函数对称性与函数自身的对称性有很多相似的地方。

三、函数对称性应用举例

例1 定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)=f(5+x),则f(x)一定是（ ）。

(A)是偶函数，也是周期函数

(B)是偶函数，但不是周期函数

(C)是奇函数，也是周期函数

(D)是奇函数，但不是周期函数

解：f(10+x)为偶函数，f(10+x)=f(10－x)，f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，x=0，即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。

故选A。

例2 函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则( )。

(A)f(x)是偶函数 (B)f(x)是奇函数

(C)f(x)=f(x+2)(D)f(x+3)是奇函数

解:f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，f(-x+1)=-f(x+1)，f(-x-1)=-f(x-1)，函数f(x)关于点（1，0），及点（-1，0）对称，函数f(x)是周期T=2［1-（-1）］=4的周期函数。f(-x-1+4)=-f(x-1+4)，f(-x+3)=-f(x+3)，即f(x+3)是奇函数。故选D。

（作者单位：安徽省天长市炳辉中学）