等变序列分歧问题在右等价群作用下的通用开折

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇等变序列分歧问题在右等价群作用下的通用开折范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘要: 研究在右等价群R(τ)的作用下，等变序列分歧问题f∈εuλ ×εxuλ[TX~*1/5](τ)的开折特点，得到了等变序列分歧问题的通用开折定理.

关键词: 等变序列分歧问题;开折;通用开折;右等价群

中图分类号:O192

文献标识码:A文章编号:1672-8513(2010)06-0454-04

The Universal Unfolding of Equivariant Sequential Bifurcation Problem in Respect to Right Equivalent Group

MA Aiping1,SHI Enwei2

(1. Department of Mathematics, Dehong Teachers College, Luxi 678400, China; 2. School of Mathematics, Yunnan Normal University, Kunming 650092, China)

Abstract: The characterization of unfoldings of equivalent sequential bifurcation problem f∈εμλ×εxuλ(τ) in respect to right equivalent group R(τ) is studied and the universal unfolding theorem is given.

Key words: equivalent sequential bifurcation problem; unfolding; universal unfolding; right equivalent group

分歧问题的开折理论研究一般扰动对方程的分歧性态的影响，如果一个分歧问题存在通用开折，则其通用开折可以导出经扰动后产生的每一个开折，因此通用开折的研究是非常有意义的.

上世纪70年代，Golubitsky和Schaeffer在文献［1-2］中把奇点理论和群论方法应用到分歧问题的研究中，并研究了在接触等价下的等变分歧问题。此后，许多学者对等变分歧问题在左右等价群及接触等价群作用下的性质作了进一步的研究［3-6］.文献［7］定义了一个新的分歧问题即序列分歧问题，文献［8］在［7］的基础上，将紧李群作用于状态变量上，定义了局部等变序列分歧问题，并得到了其在接触等价下的通用开折定理.本文研究等变序列分歧问题在右等价群R(τ)作用下的通用开折.

1 预备知识

首先给出本文所需要的一些基本概念、定义及一些定理.

定义1［8］ 设函数芽g(x,u,λ)∈εuλ×εxuλ[TX~*1/5](τ)，并记之为g=a(u) b(x,u,λ),其中α(u,λ)∈εuλ, b(x,u,λ)∈εxuλ[TX~*1/5](τ),则g叫做以τ为对称群的等变序列分歧问题，它满足以下条件：

1) g(0,0,0)=0;

2) b(γ x, u, λ) = γb(x,u,λ), γ∈τ;

3) au(0,0)=0,bx(0,0,0)=0.

其中au(0,0) 表示a(u,λ) 关于u在零点的偏导数，bx(0,0,0) 表示b(x,u,λ) 关于x在零点处的偏导数，x叫做状态变量，u叫做中间参数，λ称为分歧参数.

令

R(τ)=:(R × R × R, 0) (R × R × R, 0)是微分同胚芽,

(x,u,λ)=(φ1(x,u,λ), φ2(u,λ), φ3(λ)),φ1(x,u,λ) ∈εxuλ[TX~*1/5](τ),

φ2(u,λ) ∈εuλ,φ3(λ) ∈ελ.

规定R(τ)中的乘法运算为映射芽的复合，则R(τ) 是一个有单位元的群.

定义2 设f,g是2个等变序列分歧问题,若存在∈R(τ)，使得

f=g((x,u,λ)),

即： f(x,u,λ)=g(φ1(x,u,λ),φ2(u,λ),φ3(λ)), 则称f与g是R(τ)-等价的.如果φ3(λ)=λ, 则称f与g是强等价的.

定义3 设g是等变序列分歧问题,g处的等变切空间定义为:

TeR(g,τ)=0 bxεxuλ[TX~*1/5](τ)+au buεuλ+aλ bλελ,

对α∈Rk，记Sx=εuλα×εxuλα[TX~*1/5](τ).

定义4［8］ G∈Sα称为是g的k-参数开折，若G|α=0=g，即G(x,u,λ,0) = g(x,u,λ) .记 Gα(x,u,λ)=G(u,λ,α) (x,u,λ,α),

其中α = (α1,α2,…,αk) ∈Rk 称为开折参数.

定义5 设G是等变序列分歧问题g的k-参数开折，H为g的l-参数开折，则称H可由G诱导出来，若存在微分同胚芽(x,u,λ,β)=(φ1(x,u,λ,β),φ2(u,λ,β),φ3(λ,β),ψ(β)) 满足φ1(γx,u,λ,β)=γφ1(x,u,λ,β),γ ∈τ使得

H(x,u,λ,β)=G(φ1(x,u,λ,β), φ2(u,λ,β), φ3(λ,β),ψ(β)),

且φ1(x,u,λ,0)=x, φ2(u,λ,0)=u, φ3(λ,0) =λ, ψ(0)=0,

若ψ: Rl Rk是微分同胚，则称H与G是R(τ)-同构的.

2 通用开折定理

引理1 设f ∈εuλ ×εxuλ[TX~*1/5](τ), F是f 的(s+1)-参数开折, 记为

[JZ(]F(x,u,λ,ω,t)=F1(u,λ,ω,t) F2(x,u,λ,ω,t)=(f1(u,λ,ω,t),ω,t) (f2(x,u,λ,ω,t),ω,t).[JZ)]

令F=F1 F2, 其中F1(u,λ,ω)=(f1(u,λ,ω,0),ω),F2(x,u,λ,ω) =(f2(x,u,λ,ω,0),ω),

如果在(R×R×Rs,0)和(R×R×R×Rs,0)上存在向量场芽X=(X1X2)，且

X1=t+∑si=1ζi(ω,t)ωi+Λ(λ,ω,t)λ+U(u,λω,t)u,

X2=t+∑si=1ζi(ω,t)ωi+Λ(λ,ω,t)λ+U(u,λω,t)u+X(x,u,λ,ω,t)

其中X(x,u,λ,ω,t)∈εxuλ[TX~](τ)使得：X1・F1=0 X2・F2=0 即X・F=0,

则存在淹没芽h:(Rs+1,0)(Rs,0)使得F是R（τ）-同构于h*F的.

证明方法参看文献［4］.

引理2 设f0(x,u,λ)∈εuλ×εxuλ[TX~*1/5](τ)是等变序列分歧问题,且f0余维有限,假定F是f0的l-参数开折,F(x,u,λ,ω)=(A(u,λ,ω) B(x,u,λ,ω))=(f(x,u,λ,ω)ω), f(x,u,λ,0)=f0(x,u,λ).

设H1,H2,…,Hl∈εuλ×εxuλ[TX~*1/5](τ),hi=Hi｜α=0则下列条件是等价的：

1)TeR(f0,τ)+Rh1,h2,…,hl=εuλ×εxuλ[TX~*1/5](τ);

2)TeR(F,τ)+εαH1,H2,…,Hl=εuλω×εxuλω[TX~*1/5](τ).

证明方法参考文献［4］.

定理 (通用开折定理)设g是等变序列分歧问题，且g余维有限，假定G是g的k-参数开折，则G是g的通用开折，当且仅当

εuλ×εxuλ[TX~*1/5](τ)=Te(g,R(τ))+RGα1α=0,Gα2α=0,…,Gαkα=0.

证明 必要性.任取p∈εuλ×εxuλ[TX~*1/5](τ),则g+tp是g的l-参数开折，t∈R的开折参数，因为Gα是g的通用开折，则g+tp可由Gα导出，即：存在φ1(x,u,λ,t),φ2(u,λ,t),φ1(λ,t)以及A：（R，0）Rk满足相应的条件使得：

g+tp=G(φ1(x,u,λ,t),φ2(u,λ,t),φ3(λ,t),A（t)）,

其中φ1(x,u,λ,0)=x,φ2(u,λ,0)=u,φ3(λ,0)=λ,A(0)=0,则

g1(u,λ)+tp1(u,λ)=G1(φ2(u,λ,t),φ3(λ,t),A(t)),

g2(x,u,λ)+tp2(x,u,λ)=G2(φ1(x,u,λ,t),φ2(u,λ,t),φ3(λ,t),A(t)).

对上式分别对t求导并取t=0得：

p1(u,λ)=g1u(u,λ)・φ2t(u,λ,0)+g1λ(u,λ)・φ3t(λ,0)+∑ki=1G1αi・Ait(0),

p2(x,u,λ)=g2x(x,u,λ)・φ1t(x,u,λ,0)+g2u(u,λ)・φ2t(u,λ,0)+g2λ(u,λ)・φ3t(λ,0),

∑ki=1G2αi・Ait(0).

由定义3可知：p=Te(g,R(τ))+RGα1α=0,Gα2α=0,…,Gαkα=0.

又由p的任意性，必要性得证.

充分性.设F是g0的任一r-参数开折，将F写为

F（x,u,λ,β）=(h（x,u,λ,β）,α,β),其中h（x,u,λ,α,β）=g（x,u,λ,α）+f（x,u,λ,β）,则

H是g0的（s+r）-参数开折.令

Hi（x,u,λ,α,β1，…，βr-i）=(h（x,u,λ,α,β1,…,βr-i),).

即：Hi是H在βr=0，…，βr-i+1上的限制，则Hr=G且H｜α=0[KG-*2]=[KG-*2]F

断言:存在淹没芽A：（Rs×Rr,0）(Rs,0),使得H R（τ）-同构于A*G.

现在，对r使用数学归纳法证明上面的断言.

当r=0时，A=idRs,H=G此时结论成立.

现假设断言对r-1成立.

令Rr-1Rr,(β1，…，βr-1)(β1，…，βr-1,0),由归纳假设知，存在淹没芽A1：（Rs×Rr-1,0）(Rs,0),使得A1*GR（τ）-同构于H.

令ω=(α,β),s+r=l，因为

hωi（x,u,λ,ω）ω=0=gαi（x,u,λ,α）α=0,i=1,2,…,s.

则定理假设条件可改为：

εuλ×εxuλ[TX~*1/5](τ)=Te(g,R(τ))+Rhω1（x,u,λ,0）,…,hωs（x,u,λ,0）.

由引理2可得：

εuλω×εxuλω[TX~*1/5](τ)=Te(H,R(τ))+εωhω1（x,u,λ,ω）,…,hωs（x,u,λ,ω）,

又hωl=hβr=fβr∈εuλω×εxuλω[TX~*1/5](τ).

所以存在X∈εxuλω[TX~*1/5](τ),U∈εuλω,Λ∈ελω,ζ=(ζ1,…,ζs,)使得：

h1ωl=-h1uU(u,λ,ω)-h1λΛ(λ,ω)-∑l-1i=1ζi(ω)・h1ωi,

h2ωl=h2xX(x,u,λ,ω)-h2uU(u,λ,ω)-h2λΛ(λ,ω)-∑l=1i=1ζi(ω)・h2ωi.

(1)

定义光滑向量场芽

X1=ωl+uU(u,λ,ω)+λΛ(λ,ω)+∑l-1i=1ζi(ω)・ωi,

X2=ωl+xX(x,u,λ,ω)+uU(u,λ,ω)+λlΛ(λ,ω)+∑l-1i=1ζi(ω)・ωi.

则(1)式可以写成：X1・H=0, X2・=0.

由引理1可知：存在淹没芽A2:(Rs×Rr,0)(Rs×Rr-1,0)使得A*2GR（τ）-同构于H[DD(-*3]^[DD)].从而A*2A*1G=(A1A2)*G,令A=A1A2，则A是淹没芽，令h′=A｜α=0，则h′:(Rr,0)(Rs,0)是光滑映射芽.又H=｜α=0=F.故F是R（τ）-同构于（h′）*G的.

定理得证.

参考文献:

［1］GOLUBITSKYM,SCHAEFFER DG.Singularities and groups in bifurcation theory［M］.New York:Springe-Verlag,1985.

［2］GOLUBITSKYM,SCHAEFFER DG.Schaeffer,Singularities and groups in bifurcation theory［M］.New York:Springe-Verlag,1988.

［3］郭瑞芝，崔登兰.多参数等变分歧问题在A(Γ)的一个子群下的通用开折［J］.湖南师范大学学报,2004,27(3):1-6.

［4］郭瑞芝，李养成.含两组状态变量的等变分歧问题在左右等价群下的开折［J］.应用数学和力学,2005,26(4)：489-496.

［5］郭瑞芝，李养成.分歧参数带有对称性的等变分歧问题在左右等价群下的开折［J］.湖南大学学报:自然科学版,2007,34(1)：89-92.

［6］陈庆娥，施恩伟，朱恩超.含两组状态变量的等变分歧问题在A(Γ)的一个 子群下的通用开折［J］.云南师范大学学报:自然科学版，2008，28(1):14-21.

［7］DANGELMAYR G,STEWART I.classification and unfolding of sequential bifurcation［J］.SIAM，J Math Anal,1984,15(3):423-445.

［8］周伟峰.局部等变序列分歧问题研究［D］.昆明:云南师范大学,2007.

［9］施恩伟.流形上的微积分［M］.北京:科学出版社，2004.