方程(组)典型问题解析
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方程和方程组是中考命题的热点内容，下面以2013年中考题为例，对典型试题加以分析，供同学们复习时参考.
例1 （2013・山东滨州，6分）解方程：
=.
【分析】本题考查一元一次方程的解法，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤求解.
解：去分母，得3（3x+5）=2（2x-1）.（1分）
去括号，得9x+15=4x-2. （3分）
移项、合并同类项，得5x=-17. （5分）
系数化为1得x=-. （6分）
【点评】解一元一次方程时，要注意去括号易出现符号错误或漏乘括号内的项. 这类试题属于中考中的容易题，只要概念清楚，方法正确，即可拿满分. 在解题时要写出完整答题，不跳步骤，这样即使出错，也可以分步得分.
例2 （2013・浙江台州，8分）已知关于x、y的方程组mx+ny=7，
2mx-3ny=4的解为x=1，
y=2，求m、n的值.
【分析】本题考查二元一次方程组解的概念和二元一次方程组的解法，将方程组的解代入这个方程组，得到关于m、n的新方程组，即可求得m、n的值.
解：把x=1，
y=2代入原方程组mx+ny=7，
2mx-3ny=4，
得m+2n=7，
2m-6n=4.（4分）
解得m=5，
n=1.（8分）
【点评】已知方程（组）的解，可以列出关于待定系数的方程（组），解这个方程（组）就可以求出待定系数.这类试题属于中考中的中档题，解决这类问题的方法包括代解法和求解法，但要因题而异，灵活选用，本题以用代解法为好.
例3 （2013・湖北黄冈，6分）解方程组：
-
=-，
3（x+y）-2（2x-y）=3.
【分析】本题考查二元一次方程组的解法，原方程组比较复杂，先将两个方程化简，再根据方程组的特点确定消元的方法求解.
解：方法1（代入法）：原方程组整理得：
5y-x=3，
5x-11y=-1. ①
②（2分）
由①得：x=5y-3. ③（3分）
将③代入②得：
25y-15-11y=-1，14y=14，y=1.（4分）
将y=1代入③得x=2. （5分）
原方程组的解为x=2，
y=1.（6分）
方法2（加减法）：原方程组整理得：
5y-x=3，
5x-11y=-1.①
②（2分）
由①×5+②得：14y=14，y=1. （4分）
将y=1代入①得：5-x=3，x=2. （5分）
原方程组的解为x=2，
y=1.（6分）
【点评】解二元一次方程组的基本思路是消元，即把“二元”变为“一元”，主要方法有代入消元法和加减消元法. 当方程组中某个未知数的系数绝对值等于1时，利用代入消元法求解比较简单；如果方程组中同一个未知数的系数成倍数关系或绝对值相同，则采用加减消元法求解比较简单. 中考中解二元一次方程组的问题一般难度适中，主要考查同学们对方法的掌握，需要注意运算的准确性和选用恰当的方法.
例4 （2013・江苏泰州，8分）解方程：
-=.
【分析】本题涉及分式方程的解法，正确确定最简公分母是解题的关键，当分母是多项式时需先进行因式分解，再确定最简公分母，本题的最简公分母是x（x-2）.此外，忽视验根是最常见错误.
解：去分母得（2x+2）（x-2）-x（x+2）=x2-2，（2分）
去括号得2x2-2x-4-x2-2x=x2-2，（4分）
移项合并得-4x=2，（6分）
所以x=-，（7分）
经检验知x=-是原方程的解. （8分）
【点评】有关确定分式方程解的问题，在中考中一般处于基本题的位置.解分式方程关键是通过去分母，将分式方程转化为整式方程. 在去分母时，要注意不能漏乘任何一项，特别是常数项.最后要注意验根，看所得的解是否原方程的解.
例5 （2013・广东广州，9分）解方程：x2-10x+9=0.
【分析】本题考查一元二次方程的解法，可运用配方法、求根公式法和因式分解法等方法求解.
解法一（配方法）：将方程x2-10x+9=0变形为x2-10x=-9，配方得x2-10x+25=-9+25，（3分）
即（x-5）2=16，x-5=4或x-5=-4，（6分）
解得，x1=9，x2=1. （9分）
解法二（求根公式法）：因为a=1，b=-10，c=9，（3分）
Δ=100-36=64>0，（6分）
由求根公式解得x1=9，x2=1. （9分）
解法三（因式分解法）：将方程x2-10x+9=0变形为（x-1）（x-9）=0，（6分）
解得x1=9，x2=1. （9分）
【点评】解一元二次方程通常有四种方法，即直接开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法，只要方程有实数根，配方法和求根公式法都是万能的，但要根据具体的方程选择合适的方法，直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程.
例6 （2013・广西贺州，5分）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1 500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等.
（1） 篮球与足球的单价各是多少元？
（2） 该校打算用1 000元购进篮球和足球，问恰好用完1 000元，并且篮球、足球都买有的购买方案有哪几种？
【分析】本题考查分式方程和二元一次方程的应用.
（1） 首先设足球单价为x元，则篮球单价为（x+40）元，根据题意可得等量关系：1 500元购进的篮球个数=900元购进的足球个数，由等量关系可得方程求解；（2） 设恰好用完1 000元，可购买篮球m个和购买足球n个，根据题意可得篮球的单价×篮球的个数m+足球的单价×足球的个数n=1 000，再求出整数解即可.
解：（1） 设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+40）元，根据题意得（1分）：
=，解得x=60. （3分）
经检验，x=60是原分式方程的解，且符合题意. 所以x+40=100. （4分）
答：篮球和足球的单价分别为100元、60元. （5分）
（2） 设恰好用完1 000元，可购买篮球m个和购买足球n个（m、n是正整数），（6分）
由题意得 100m+60n=1 000，因此m=10-n. （7分）
因为m、n都是正整数，所以n是5的整数倍，且n
方案1：购买篮球7个，足球5个；
方案2：购买篮球4个，足球10个；
方案3：购买篮球1个，足球15个.（10分）
【点评】在应用分式方程解决实际问题时，要注意两个检验：一是检验得到的解是否方程的增根，二是得到的解是否符合实际问题的意义，两者缺一不可. 二元一次方程是研究方案问题的有效模型，二元一次方程是不定方程，它的解一般有无数个，但是它的特殊解却是有限的，因此可以先建立二元一次方程模型，再利用二元一次方程的特殊解解题.
例7 （2013・湖南永州，8分）中国现行的个人所得税法自2011年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下：
一、 以个人每月工资收入额减去3 500元后的余额作为其每月应纳税所得额；
二、 个人所得税纳税率如下表：
（1） 若甲、乙两人的每月工资收入额分别为4 000元和6 000元，请分别求出甲、乙两人每月应缴纳的个人所得税；
（2） 若丙每月缴纳的个人所得税为95元，则丙每月工资收入额应为多少？
【分析】本题是关于用一元一次方程解决纳税问题的应用题，理清不同工资收入对应不同的纳税税率是解题的关键. （1） 按计算方法求解即可；（2） 要估算出丙的工资范围，再根据丙每月缴纳的个人所得税列出方程求解.
解：（1） 甲每月应纳税所得额：4 000-3 500=500（元），甲每月应缴纳的个人所得税为：500×3%=15（元）（2分）；
乙每月应纳税所得额：（6 000-3 500）=2 500（元），乙每月应缴纳的个人所得税为：1 500×3%+（2 500-1500）×10%=145（元）（4分）.
（2） 若每月工资收入额为1 500+3 500=5 000（元），则每月缴纳的个人所得税为（5 000-3 500）×3%=45（元）
若每月工资收入额为4 500+3 500=8 000（元），则每月缴纳的个人所得税为：1 500×3%+（3 500-1 500）×10%=245（元）>95元.
由丙每月纳税95元，可知丙每月工资在5 000～8 000元之间，纳税级数为2，其纳税额由两部分组成. 设丙每月工资收入额应为x元（5分），
则得：1 500×3%+（x-3 500-1 500）×10%=95（6分），解得x=5 500（元）（7分）.
答：丙每月工资收入额应为5 500元（8分）.
【点评】缴纳个人所得税本质上是分段缴费问题，也就是分段函数的函数值计算，解决这类问题的关键是要知晓分段函数中自变量的不同取值范围，抓住不同范围内的缴费标准，求出各分段缴费数额，最后求和.
（作者单位：江苏省兴化市教育局教研室、兴化市缸顾中心校）