R-σ决策法在房地产投资领域的应用
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房地产，是房产和地产的统称，即房屋和土地两种财产的合称。确切地说，房地产就是指土地和土地上永久性建筑物及其衍生的权利。房地产业则是从事房地产开发、经营、管理和服务的产业群体，是一个具有内在整体性的社会产业，它包括土地的开发经营，房屋的综合开发、买卖、租赁、信托、维修、装饰、综合服务，以及以房地产为依托进行的多种经营管理。房地产业是国民经济的基础性、先导性、支柱性产业，对国民经济具有举足轻重的推动作用。
房地产投资是将资金投入到房地产综合开发，经营管理和服务等房地产业的基本经济活动中，以期将来获得不确定的收益，而在整个投资活动中，收益与风险是同时存在的，风险是影响房地产投资收益的最重要因素。从房地产投资的角度来讲，风险可以定义为获取预期收益的可能性大小。房地产投资风险，就是指在房地产投资活动中存在影响开发经营利润的多种因素，而这些因素的作用难以或无法预料、控制，使得企业实际的开发经营利润可能与预期的利润发生偏离，因而使企业有蒙受经济损失的机会或可能性大小。进行房地产投资风险分析，从根本上讲，是要对影响房地产投资效益的各个变化因素及其对投资效益的影响进行分析，或者说对房地产投资评价结果的可靠性进行检验，从而测定项目的风险性。认识房地产投资的风险，明确导致投资效果变化的因素，并进行控制，从而有助于房地产投资效益的提高，减少或避免不必要的风险损失。
上面介绍了房地产投资风险，下面我们利用数学模型来刻画这种风险与收益。
定义：设R是房地产投资收益率，由于未来的不确定性，可能出现好几种收益情况，经过长期经验总结假如有种收益可能，那么平均收益率为ER=ΣNi=1PiRi=R，实际收益率偏离平均收益率的风险为σ2=E(R-R)2
，利用期望与方差来分析收益和风险的方法就是R-σ决策法。
房地产投资是一项周期比较长的投资，可移动性比较差，变现能力也很差，虽然得到的收益较高，但风险相对也很大，这样作为一个有经济头脑的房地产投资商，决策在房地产投资领域的应用就显得很重要，除了能够定性与定量结合地看待这些风险因素，还要有良好的决策办法。比如，他不可能只投资于一个项目，而是要进行多项目投资组合，这就是一种很好的决策。下面我们从数学模型定量分析地来看待这个问题。
假设房地产投资商投资了n个项目，此组合记位P,那么组合的预期收益为：
ERP=E(Σni=1xiRi)=Σni=1
xiRi
组合的风险为：
σ2P=E(RP-RP)2=E(Σni=1xi(Ri-Ri))2
=Σni=1x2iσ2i+Σni=1Σnj≠1xixjpijσiσj
其中xi代表投资于每种资产的比例。下面我们以两种资产为例来说明问题：
案例1：某房地产投资商把资金投资于两种不同类型地房地产A和B，当确定每项投资报酬率的发生概率之后，就可以进行风险分析，如图：
the return of the investment item
项目A项目B
报酬率发生概率报酬率发生概率
30%30%25%20%
20%40%15%50%
10%30%10%30%
The data of investment item
内容项目A项目B
ERi20%14.5%
σ2i0.0060.00125
σi7.75%3.5%
xi50%50%
计算组合预期收益率和方差
ERP=XAERA+XBERB
=20%×50%+14.5%×50%
=17.25%
σ2P=X2Aσ2A+X2Aσ2A+2XAXBρABσAσB
=(50%×0.0775)2+(50%×0.0355)2+2×50%×0.0775×0.0355ρmAB
ρAB=1,σ2P=0.00316
ρAB=0,σ2P=0.00181
ρAB=-1,σ2P=0.00045
通过上面案例分析我们可以得出这样的结论：（1）当每项房地产的投资率确定后，组合预期收益率是确定的。
（2）两项资产的相关系数越小，风险越小，当两种房地产完全负相关时，风险达到最小值。
这就给我们一个比较好的决策，选取投资组合时，要选取收益率呈反方向变动的资产，比如在房地产投资时，我们可以选A为写字楼，B为工业厂房，当商贸经济繁荣时，写字楼的回报率上升，但工业通用厂房租售不利，回报率下降；而商贸经济萧条时，基础工业加强，写字楼回报率下降，通用厂房回报率上升，这样组合到一起可以降低投资风险。其实质，就是要体现一种对冲思想，在股票市场上，我们卖出一份股票，相应要买入一份股票看涨期权，这样可以降低股票价格上涨带来的风险。那想到，当组合资产确定时，如何选取投资比例可以把风险降到最低？实质这是一个简单的线性规划问题。
考虑以下优化模型：
minσ2P=x2σ21+(1-x)2σ22+2x(1-x)σ1σ2ρ12
通过一阶条件σP/x=0，可得：
x=(σ22-σ1σ2ρ12)/(σ21+σ22-2σ1σ2ρ12)
对于一般情况，可以利用拉格朗日函数求解：
min12X1ΦX
s.t.I1 X=1
L=12XΦX+λ(I1X-1)
L/X=ΦX+λI=0,L/λ=I1X-1=0
得到X=-λΦ-1I待入I1X-1=0有λ=-1/I1Φ-1I
X=(Φ-1I)/(I1Φ-1I)
minσ2P=1/(I1Φ-1I)
其中Φ是方差与协方差矩阵。
由于不论预期收益水平如何，上面是可以达到风险最小化，但是，对于理性投资者，风险最小组合并不一定是最佳投资组合，因为尚未将收益纳入分析范围。现实中，房地产投资商总是在收益和风险的不断权衡中确定或调整自己的投资策略。投资商总是在满足一定收益水平情况下使得风险最小化，这就要考虑下面的优化模型：
minσ2P=Σni=1x2iσ2i+Σni=1Σnj≠1xixjpijσiσj
Σni=1xiRi≥R0
Σni=1xi=1
xi≥0,i=1,2…n
二、市场指数模型与投资分散化
前面我们从投资组合的内部讨论了不同房地产投资额如何分配可以降低风险，即从微观角度进行分析。下面我们从风险整体来考虑，总风险是怎样形成的？它由两部分组成：系统风险与非系统风险。由整个社会经济体系大环境的变动，如社会经济衰退，通货膨胀率增加，利率变动，政局不稳定，战争发生等等，使房地产收益率变得捉摸不定所产生的风险，称为系统风险（市场风险）。另一部分风险来自于房地产投资内部，如投资决策的失误，债台高筑，劳资纠纷等等这些称为非系统风险（非市场风险）。如图：
房地产投资的系统风险用来度量。这种度量是一种相对性度量方法，如同人的身材有高有矮，为了对身材的高度有个度量，我们可以选定某A的高度是1，然后将其他人与A相比较，如果张先生是1.4，表示张的身高较A要高，反之则矮。但是为了度量房地产投资的系统风险，究竟选哪一家公司的风险为基准呢？在相互竞争的市场中很难选出这样的房地产投资公司，于是人们便想到选用市场中众多公司的平均风险作为基准，所有房地产投资公司都与市场平均风险来作比较，那市场平均风险如何获得呢？我们用σ2m表示市场平均风险。市场组合中包含了所有房地产投资项目。下面我们建立市场收益率指数模型，我们知道，影响投资风险大小的关键指标之一是资产之间的协方差或相关系数。市场指数模型不直接考虑资产与资产之间的相关性，而是考虑资产与市场组合M之间的相关关系。一种资产与市场组合之间的相关关系常用该资产的贝塔值来衡量，记为βι。通过用每一种资产与市场组合的关系来替代资产组合相互之间的关系，资产的收益便可分割为两部分：一是与市场相关的部分，二是与市场无关的部分，于是，资产的收益率可以表述为：Ri=αi+βiRm+εi
上式中，αi是无风险下的收益，Rm是市场组合的收益率，βi是一个常数，它是测度资产i的收益率对市场指数收益率的敏感性指标；εi为随即误差项。关于εi，通常假定（1）Eεi=0；（2）εi与市场指数无关，即Eεi(Rm-Rm)=0；（3）资产i和j的随机误差项不相关，即Eεiεj=0。
若σ2εi以表示εi的方差，σ2m表示市场组合的收益方差，则资产i的预期收益率为：
Ri=ERi=αi+βiRm
资产i的收益方差为：σ2i=E(Ri-Ri)=β2iσ2m+σ2εi
可见，任何资产的风险都可以由两部分来解释：其一是β2iσ2m代表资产的系统风险，其二是σ2εi代表资产的非系统风险。另外，资产i与市场组合的协方差是：
σim=E［(Ri-Ri)(Rm-Rm)］=βiσ2m，
即βi=σim/σ2m
资产i与j之间的协方差是：σij=E［(Ri-Ri)(rJ-Rj)］=βiβjσ2m
因此，资产之间的相关性可以通过它们分别与市场组合的相关性体现出来。
对于资产组合，道理亦然。考察一个由n种风险资产构成的组合P,其投资比例是x1,x2,……xn。组合的预期收益率是：
RP=Σni=1xiRi=αP+βPRm
其中，αP=Σni=1xiαi,βP=Σni=1xiβi是组合P的β值
它等于各个资产β值的加权平均值。
组合的收益方差为：
σ2P=Σni=1x2iσ2i+Σni=1Σnj≠1xixjσij
=(Σni=1xiβi)2σ2m+Σni=1x2iσ2εi=β2Pσ2m+σ2εP
同单个资产的情况相仿，任意一个房地产投资组合的风险也是分为两部分。众所周知，分散化投资可以降低风险，市场指数模型将投资风险分为系统风险与非系统风险，分散化投资对这两部分风险的影响是不同的。
（1）系统风险：根据市场指数模型，β值是衡量系统风险的尺度。由于投资组合的β值等于各资产β值的加权平均值，所以投资的分散化导致系统风险平均化。换言之，系统风险不能通过资产的组合而加以分散。
（2）非系统风险：分散化投资对于非系统风险具有重大意义。考虑一个由n种资产构成的等比例投资组合，其非系统风险是：
σ2εP=Σni=1(1n)2σ2εi=1nΣni=11n
σ2εi=1nA
其中，A可看作各资产非系统风险的平均值，而组合的非系统风险只有这个水平的1n，因此，只要组合里包含足够数量的资产，其非系统风险便会变得很小。当n∞时，
limn∞1nA=0非系统风险被消除或忽略不计。
总之，凡是能够通过分散投资予以消除的风险是非系统风险,当房地产投资者通过适当的资产组合把风险降到一定程度时就再也降不下去了。如图：
三、分离定理
房地产投资是一项巨大的工程，一般投资商没有那么多现金要通过一部分贷款实现项目的投资，当然如果此房地产投资商很有钱，即使做出了项目投资资金预算，还会剩余好多，当然可以存入银行，或者购买国债，不管是哪种方式都属于无风险投资，因此理性的投资行为通常情况下是无风险资产与风险资产的组合。下面我们建立无风险资产与风险资产的数学模型。
RP=xRf+(1-x)RA
σ2P=(1-x)2σ2A
把x=RP-RA/Rf-RA代入σ2P
得到RP=RA-RfσA
σP+Rf
上面的式子代表一条直线，斜率表示单位风险报酬率，截距表示无风险报酬率。 越接近1表示投资于无风险资产的比重越高，越接近0表示投资于风险资产组合的比例越高。究竟选取什么样的比例与个人偏好有关。数学模型中用无差异曲线代表个人偏好，无差异曲线与上述直线的交点即为投资者的投资组合。
那我们如何确定风险投资组合A呢？看风险投资组合A的数学模型：
RP=Σni=1xiRi
σ2p=Σni=1Σnj=1xixiσij
（前面已经提到过）我们通过具体例子来分析风险投资组合A的数学模型的曲线图。假设取全体实数，
RP+xR1+(1-x)R2=(R1-r2)x+R2
σP=x2σ21+(1-x)2σ22+2x(1-x)ρ12σ1σ2
当ρ12=0时，σP=(σ21+σ22)x2-2σ22x+σ22在平面上的所有二次曲线中，只有双曲线才具
limx∞RPσP
=(R1-R2)x+R2
(σ21+σ22)x2-2σ22x+σ22
=R1-R2
σ21+σ22
有这一特性，因为双曲线有渐近线，而上述极限正是一条渐近线的斜率。在实际中0≤x≤1是双曲线上的一段。那么对于风险组合的一般数学模型可以证明它的有效边界是双曲线。（此证明比较繁琐略过）代表投资于风险资产与无风险资产组合的收益-方差直线与上面双曲线的切点即为A点。
如图：
结论：无风险资产和风险资产组合的有效边界是切线段FA.如果房地产投资商要借款，借款利率等于无风险存款利率，那么其有效边界是将切线向A点方向延伸出去的直线。
RP=xRf+(1-x)RA
当x＜0时，表示从银行借款，借款利率是Rf
RA=xRA+(1-x)RA
Rf＜RARA＜RP
分离定理：设F是无风险资产（或无风险存款），S1,S2……Sn是风险资产，A是切点组合，它对应的投资比例向量是（xA1,xA2…xAn），则每一个房地产投资商投资于F,S1…Sn的最优组合是：
其中：（1）不同的投资者将有不同的y，这与投资者个人偏好有关；
（2）不同的投资者有共同的切点组合，亦即有共同的（xA1,xA2…xAn），这与投资者个人偏好无关，已经从个人偏好中分离出来。只要他打算投资风险证券，比例就相同。
房地产投资商如果想选择F,S1…Sn的最优组合投资，他将在这条有效边界上选择投资方案。因此，他首先将他打算投资的总资金C按比例分成yC和(1-y)C两份。
前面我们应用现资组合理论，建立数学模型通过定量分析法形象认识到了系统与非系统风险对房地产投资收益不同侧面的影响，并结合模型学会如何进行最优投资组合达到分散风险的目的。当然房地产是一个相当复杂的投资产业，现实中不可能仅通过这样一种简单的风险分析法就可以避免甚至消除风险，而是要引入多种方法，从不同角度仔细全面地进行分析度量，并最终做出决策。现在用于房地产投资风险分析，比较好的方法还有蒙特卡罗法，层次分析法，净现值分析法，内部收益率分析法等等。其中蒙特卡罗法是一种基于概率统计理论的计算机仿真模拟法，实质是一种随机模拟被房地产业界广泛应用。它的基本思想是：首先建立一个概率空间或随机过程，在这个概率空间里选取一个随机变θ(ω),ω∈Ω，使它的数学期望=∫Ω(ω)Pdω正好等于所求问题的解，然后取θ(ω)子样的平均值作为的近似值。
四、结束语
随着中国房地产业市场的不断发展，越来越好的决策方法将不断出现，希望中国房地产业能抵住更大的风险，不断向前迈进。
（作者单位：武汉理工大学理学院）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。