谈几点简单的数学看法

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摘要：从小对于数学的热爱，无论在做什么工作，都不放弃对数学的学习研究。以下介绍了几个数学看法，简单阐述了验证过程，欢迎大家给予批评斧正。

关键词：余整数列表达式；积差，和等公式；无限循环小数

一、余整数列表达式或万能剩余公式

中国剩余定理在《小学数学辞典》《初中生数学辞海》均有记载。经研究演算，进一步地解算更多更大数字的剩余问题，可以来回算另一种剩余问题，同时形成余整数列，每个数列也都能由这个公式所表示，可以找到数列中的每个数字，所以也叫做余整数列表达式或万能剩余公式。

一个数（被除数）用g来表示，除以一个数（除数）用v1来表示，所余的数（余数）用k1来表示；被除数g除以另一个数用v2来表示，所余的数用k2来表示；被除数g除以一个数用v3来表示，余数用k3来表示。被除数g分别除以除数vw余kw，v1，v2，v3，vw（不能整除的除数）的最小公倍数简称为余，为了好记就用“余”这个字来表示。被除数g除以一个数j1整除，被除数g除以另一个除数j2整除，被除数g除以jn整除，j1，j2，jn（这些能整除的除数）的最小公倍数简称为整，为了好记就用“整”这个字来表示。余和整的最大公约数用b来表示。

则：g=（余÷b×a+x）×整=[余÷b×（a+1）-y]×整

注意：a为正整数，包括“零”。a叫做门数，好像是门牌号，是从“零”开始的门牌号。a+1个是这个数列中从小到大的数的个数。a表示在数列中小于g的数的个数。x+y=余÷b

在小于“余÷b”的自然数中，可确定x和y的有或无，有x就有y。

x就叫这个数列的根，也叫解。y就是增根，因为x+y=余÷b

按一个数除以一个数或多个数，整除都整除，余几都余几的关系形成余整数列，完全能把这个数列表达清楚的数字式叫做这个数列的数列表达式。由这个数列的表达式可以清楚地找到每个数字。数g除以v余k叫做除以v余k的数列，数列中的数除以v的约数余几都余几，整除都整除。数g除以j整除，叫做j的整除数列，数列中的数除以j的约数都整除。数g除以v余k，除以j整除，叫做v余k，j整除数列。

有时，同一个数列可以写成多个恒等数列表达式，最简便的数列表达式叫最简数列表达式。

例1.“韩信点兵”中除以3余2，除以5余3，除以7余2根据公式列出四个恒等数列表达式：105a+23=105×（a+1）-82=（5a+1）×21+2=[5×（a+1）-4]×21+2

例2.10除以2整除，除以5和10整除，10除以3余1，除以4余2，除以6余4，除以7余3，除以8余2，求达到以上条件的第123456个数是多少？2，5，10的最小公倍数是10；3，4，6，7，8的最小公倍数是168，在168和10之间最大公约数是2，列式：（168÷2×123455+1）×10

例3.10000000里面有几个数可以达到以下条件：除以2整除，除以3余1，4整除，5整除，除以6余4，除以7余3，8整除，除以9余1，除以10整除的数，数列表达式是多少？

解：10000000÷40÷63=3968……16

比10000000小的还有3968个达到条件。列出数列表达式：（63×a+16）×40

例4.求：除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5余4，除以6余5，除以7余6，除以8余5，除以9余8，除以10余9，除以11余4，除以12余5，除以13余5，除以14余13，除以15余14，除以16余5，除以17余2，除以18余17，除以19余16，除以20余9的数列表达式？最小数字是多少？

解：根据2余1，3余2，5余4，6余5，7余6，9余8，10余9，14余13，15余14，18余17，这些数都余比本身小1的数，叫台阶余，{除数和所余的数字差都相等，（v1-k1=v2-k2=v3-k3=v4-k4）}使用余整数列表达式后式得：630×（a+1）-1，经计算a为0（零）时，得数629只对11，17，19三个数字不合题意。升级列数列表达式：65520a+629

a为1时，17合题意，重新升级列数列表达式：1113840a+66149；

a为2时，19正合题意，再重新列数列表达式：21162960a+2293829；

a为1时，11正合题意，也就是2至20的数全合题意，列数列表达式为本题的正确解：232792560a+23456789；

a为零时，最小是23456789。

二、积差和等公式

积差和等公式：用平方差公式证明算解达到条件的数题，简单快速，不分小数和分数。

AB-CD在A+B=C+D时（A+x）×（B+x）-（C+x）×（D+x）=AB-CD也就是说：两个因数的积，减去另两个因数的积，在第一组因数的和等于第二组因数的和时，这四个因数同时加上[或减去]同一个数，差[得数]永远不变。

第1例：67×33-87×13

第一种：这四个因数同时减去13得：54×20

第二种：这四个因数同时减去87得：（-20）×（-54）

第三种：这四个因数同时减去67得：0-20×（-54）

第四种：这四个因数同时减去33得：0-54×（-20）

第2例：985×785-1285×485分明是985+785=1285+485就能使用这种方法。

第一种：这四个因数同时减去485得：500×300

第二种：这四个因数同时减去1285得：（-300）×（-500）

第三种：这四个因数同时减去985得：0-300×（-500）

第四种：这四个因数同时减去785得：0-500×（-300）

第五种：这四个因数同时减去85得：900×700-1200×400

第3例：12345678956×12345678934-12345678988×12345678902

根据公式这四个因数同时减去12345678902得：54×32，如果这四个因数同时写上小数点，然后在小数点后有123456789照样可以使用。注意：在这里零的特点。a×0=0零乘以任何数都得零。这四个因数同时减去其中一个因数时，减去这个因数本身的因数式就会变成零。a-0=a在减数式里的因数被同时减去时，就算被减数式里同时减去那个因数后，两个因数的积就是得数。0-a=-a零减去一个数等于这个数的相反数。也就是说∶被减数式里的一个因数被减去时，不要忘记减数式前边的负号。

三、论无限循环小数0.9……等于1

理论一：0.1……= 0.2……= 0.3……=

0.4……= … 0.9……=

并且0.1……+0.8……= + =1

0.2……+0.7……= + =1

0.3……+0.6……= + =1

0.4……+0.5……= + =1

理论二：在除法算式里，同一个数字相除（也就是一个数字除以它本身），个位上不商1，硬写0，第一位小数商9，被除数补上0减去这个数乘以9得的数，还是这个数。第二位小数再商9，还是这样。这样下去没有完，会形成无限循环小数0.9……所以同一个数字相除都会写成无限循环小数0.9……的形式。

以此证明无限循环小数0.9……等于1没有误差，就像9/9，8/8，7/7，6/6只是1的另一种书写形式。

（作者单位 河北省徐水户木安庄村）