教育均衡发展在八年级教学应用研究――论因式分解的常用解法

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摘 要：教育均衡发展要求每一个学生得到相对均衡的发展。在八年级教学中，依据本人多年的教学经验，并在参考了相关文献的基础上，本文给出了多项式在实数范围内的因式分解的常用方法，以求在八年级因式分解教学中让学生均衡发展。其中包括提公因式法，公式法，分组分解法，换元法，配方法，十字相乘法，求根公式法，拆法、添项法，待定系数法，取值法。供广大同仁参考借鉴，并提出指正。

关键词：二次三项式；多项式；因式分解

因式分解：即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解因式，则结果唯一。因式分解的一般步骤：

有公因式时先提公因式；

考虑能否直接应用公式；

考虑适当分组，使分组后有公因式可提（或适合公式）且组与组之间又有公因式；

对于二次三项式（指关于某个来说），还可考虑应用十字相乘法、配方法和求根公式法；

对于高次多项式，可考虑应用换元法、分组分解法、拆项或插项后的分组分解法；

以上方法都难以奏效时，可考虑应用新（或广）十字相乘法，或待定系数法分解；

因为：数域F上的次数大于零的多项式f（x），如果不计零次因式的差异，那么f（x）可以唯一的分解为以下形式：

f（x）=aP1k1（x）P2k2（x）…Piki（x）*，其中α是f（x）的最高次项的系数，P1（x），P2（x）……Pi（x）是首1互不相等的不可约多项式，并且Pi（x）（I=1，2…，t）是f（x）的Ki重因式。

（*）或叫做多项式f（x）的典型分解式。

初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等

要求为：要分到不能再分为止。

一、提公因式法

如果多项式各项都有公共因式，则可先考虑把公因式提出来，进行因式分解，注意要每项都必须有公因式。

众所周知，提公因式法是因式分解的最基本的，也是十分重要的一种方法。那么如何正确提取公因式分解因式呢？

（一）具体地说，首先应确定公因式。确定公因式的原则是：

1.各项系数都是整数应提取各项系数的最大公约数；

2.字母提取各项的相同的字母；

3.各字母的指数取次数最低的，然后再提取公因式将多项式分解因式。

（二）其方法是：

1.当一个多项式的各项公因式是其中的单独一项时，提取公因式后该项应用1补上，不能漏掉；

2.如果多项式按一定顺序列出后，首项为负时，一般要连同“-”号提出，使括号内的第一项的系数为正的，但在提出“-”后括在括号内的各项与原来相比要改变符号；

3.有时提取公因式后要对括号内的项进行适当的化简，发现公因式还要及时提取；

4.如果公因式含有多项式因式时，应注意符号的变换。

如（a-b）2=（b-a）2，（a-b）3=-（b-a）3；

5.因式分解的结果应将单项式写在前面，多项式写在后面，相同的因式写成乘方的形式。

把多项式56a3bc+14a2b2c-21ab2c2分解因式。

分析：56、14、21的最大公约数是7，字母a、b、c最低指数均为1，所以多项式56a3bc+14a2b2c-21ab2c2的公因式是7abc。

解：56a3bc+14a2b2c-21ab2c2=7abc（8a2+2ab-3bc）。

例2：把多项式6x3y2+12x2y3-6x2y2分解因式。

分析：6、12、6的最大公约数是6，字母x、y最低指数均为2，所以多项式6x3y2+12x2y3-6x2y2的公因式是6x2y2。

解：6x3y2+12x2y3-6x2y2=6x2y2（x+y-1）

二、公式法

即多项式如果满足特殊公式的结构特征，即可采用套公式法，进行多项式的因式分解，故对于一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理归纳如下：a2-b2=（a+b）（a-b）

a2±2ab+b2=（a±b）2

a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）

a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）

a3±3a2b+3ab2±b2=（a±b）3

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2

a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=（a1+a2+…+an）2

a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-ac-bc）

an+bn=（a+b）（an-1b0-an-2b1+an-3b2-…-a1bn-2+a0bn-1）（n为奇数）

an-bn=（a-b）（an-1b0+an-2b1+an-3b2+…+a1bn-2+a0bn-1）（n为正整数）

例1：分解因式：（1）64x6-y12；（2）1+x+x2+…+x15

解析：各小题均可套用公式

解（1）64x6-y12=（8x3-y6）（8x3+y6）

=（2x-y2）（4x2+2xy2+y4）（2x+y2）（4x2-2xy2+y4）

（2）1+x+x2+…+x15

=（1+x）（1+x2）（1+x4）（1+x8）

注多项式分解时，先构造公式再分解。

三、分组分解法

当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。当然可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯一。

例1：分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1

解：原式=（x15+m12）+（m9+m6）+（m3+1）

=m12（m3+1）+m6（m3+1）+（m3+1）

=（m3+1）（m12+m6+1）

=（m3+1）[（m6+1）2-m6]

=（m+1）（m2-m+1）（m6+1+m3）（m6+1-m3）

例2：分解因式：x4+5x3+15x-9

解析：可根据系数特征进行分组

解：原式=（x4-9）+5x3+15x

=（x2+3）（x2-3）+5x（x2+3）

=（x2+3）（x2+5x-3）

四、换元法

例1：把x4+6x2+8分解因式。

分析：这个多项式不是关于x的二次三项式，如果把x2设为y，那么这个多项式就可转化为y2+6y+8，这是关于y的二次三项式，我们就可以运用上一节课所学的方法分解因式了。这里，设y=x2，把y称为辅助元，这种方法叫做换元法。

解：设x2=y，则多项式变为y2+6y+8，

把它分解因式，得

y2+6y+8=（y+2）（y+4）.

再把y换成x2，得

x4+6x2+8=（x2）2+6x2+8=（x2+2）（x2+4）.

指出：通过设辅助元，把所给的多项式转化为形如x2+px+q的二次三项式，在解题中，代换的步骤可以省略。

例2：把（a+b）2-4（a+b）+3分解因式。

分析：如果把（a+b）看作一个整体，这样原多项式可看成关于（a+b）的二次三项式，就可以进行因式分解了。

解（a+b）2-4（a+b）+3=（a+b-1）（a+b-3）.

指出：把（a+b）看作二次三项式x2+px+q中的字母x的方法称为“换元法”，这种“整体”思想方法是代数中的主要思想方法，它能起到化难为易，化繁为简的作用。

例3：把（x2-3x+2）（x2-3x-4）-72因式分解。

分析：这个多项式较复杂，若能注意题目中的各项的特点，把某些项看作一个整体，运用代换法，即通过设辅助元，把原多项式转化为形如x2+px+q的二次三项式，就可以进行因式分解了。

解： 方法1 把x2-3x看作一个整体。

原式=[（x2-3x）+2][（x2-3x）-4]-72

=（x2-3x）2-2（x2-3x）-80

=（x2-3x-10）（x2-3x+8）

=（x-5）（x+2）（x2-3x+8）.

方法2：把x2-3x+2看作一个整体.

原式=（x2-3x+2）[（x2-3x+2）-6]-72

=（x2-3x+2）2-6（x2-3x+2）-72

=[（x2-3x+2）-12][（x2-3x+2）+6]

=（x2-3x-10）（x2-3x+8）

=（x-5）（x+2）（x2-3x+8）.

方法3：把x2-3x-4看作一个整体。

原式=[（x2-3x-4）+6]（x2-3x-4）-72

=（x2-3x-4）2+6（x2-3x-4）-72

=（x2-3x-4+12）（x2-3x-4-6）

=（x2-3x+8）（x2-3x-10）

=（x2-3x+8）（x-5）（x+2）.

指出，通过例3可以看到，如果把二次三项式（x2-3x+2）与二次三项式（x2-3x-4）相乘，将得到一个四次多项式，这时再分解因式就困难了。如果把其中的某些项看作一个整体（即把它看作一个新的辅助元），这就把问题转化为我们熟悉的关于新辅助元的二次三项式，就可以用学过的方法分解因式了。

例4：把x2-3xy+2y2分解因式。

分析：多项式中的x和y的最高次项都是2次，中间项x与y的乘积项，次数也是2次，因此这个多项式既可以看作是关于x的二次三项式，也可以看作是关于y的二次三项式。这时，2y2就相当于常数项，可以把它分解为-y与-2y的积，那么-y+（-2y）=-3y恰好等于一次项x的系数。

解：x2-3xy+2y2=x2-3yx+2y2=（x-y）（x-2y）.

指出：由例4可以看到，当二次三项式x2+px+q中的p和q是一个单项式时，如果q可以分觖成两个因式之积，而这两个因式之和正好等于一次项系数p时，这样的二次三项式就可以分解因式。

五、配方法

将一个式子（或其中一部分项）配成完全平方式（或完全立方式）的变形，称为配方法。

例1：分解因式

（1）25x4+9x2y2+y4；（2） x3-6x2+12x-9

解：（1）原式=（5x2）2+2×5x2y2+y4-x2y2

=（5x2+y2）2-（ xy）2

=（5x2+y2+xy） （5x2+y2-xy）

（2）原式= x3-6x2+12x-8-1

=（x-2）3-1

=（x-3）（ x2-3x+3）

六、十字相乘法

十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。要务必注意各项系数的符号。

十字相乘法原理

X2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）

Kx2+mx+n=（ax+b）（cx+d）

a b

c d

ac=k

bd=n

ad+cb=m

十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1・a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1・c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）所谓十字相乘法，就是运用乘法公式（x+a）（x+b）= x2+（a+b）x+ab的逆运算来进行因式分解。比如说：把x2+7x+12进行因式分解。

上式的常数12可以分解为3×4，而3+4又恰好等于一次项的系数7，所以

上式可以分解为： x2+7x+12=（x+3）（x+4）

又如：分解因式： a2+2a-15，上式的常数-15可以分解为5×（-3）.而5+（-3）又恰好等于一次项系数2，所以a2+2a-15=（a+5）（a-3）.

单十字相乘法

对于形如ax2+bx+c结构特征的二次三项式可以考虑用十字相乘法，

即x2+（b+c）x+bc=（x+b）（x+c）当x2项系数不为1时，同样也可用十字相乘进行操作。

例1：分解因式： （1）x2-x-6；（2）6x2-x-12

解：

（1）1x+2

1x-3

原式=（x+2）（x-3）

（2）2x-3

3x+4

原式=（2x-3）（3x+4）

注：“ax4+bx2+c”型也可考虑此种方法。

（二）双十字相乘法。

在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的基本方法，对于比较复杂的多项式，尤其是某些二次六项式，如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3，也可以运用十字相乘法分解因式，其具体步骤为：

（1）用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图。

（2）把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个十字中交叉之积的和等于原式中含y的一次项，同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含x的一次项。

例1：分解因式

（1）4x2-4xy-3y2-4x+10y-3

（2）x2-3xy-10y2+x+9y-2

（3）ab+b2+a-b-2；（4）6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2

解：

（1）原式=（2x-3y+1）（2x+y-3）

2x-3y+1

2x+y-3

（2）原式=（x-5y+2）（x+2y-1）

x-5y+2

x+2y-1

（3）原式=（b+1）（a+b-2）

b+1

a+b-2

（4）原式=（2x-3y+z）（3x+y-2z）

2x-3y+z

3x-y-2z

说明：（3）式补上oa2，可用双十字相乘法，当然此题也可用分组分解法。 如（ab+a）+（b2-b-2）=a（b+1）+（b+1）（b-2）=（b+1）（a+b-2）；（4）式三个字母满足二次六项式，把-2z2看作常数分解即可。

七、求根公式法

对于二次三项式因式分解，若用十字相乘法不能奏效时，则可先求出该二次三项式对应方程（令其为零得到的方程）的两个根x1和x2，则

ax2+bx+c=a（x- x1）（x- x2）

例1：在实数范围内把x2-4x+2分解因式

解：方程x2-4x+2=0的根是

x1=2+2，x1=2-2

原式=（x+2+2）（x-2+2）

例2：分解因式1323x2+895x+150

解：方程1323x2+895x+150=0的根是

x1=-15/49，x2=-10/27

原式=1323（x+15/49）（x+10/27）

=（49 x+15）（27 x+10）

说明：对系数比较大的二次三项式，用十字相乘法分解比较困难，此时一般采用求根公式分解。

八、拆法、添项法

对于一些多项式，如果不能直接因式分解时，可以将其中的某项拆成二项之差或之和。再应用分组法，公式法等进行分解因式，其中拆项、添项方法不是唯一，可解有许多不同途径，对题目一定要具体分析，选择简捷的分解方法。

例1：分解因式：x3+3x2-4

解：法一：可将-4拆成-1，-3，即（x3-1）+（3x2-3）

法二：添x4，再减x4，即（x4+3x2-4）+（x3-x4）

法三：添4x，再减4x，即（x3+3x2-4x）+（4x-4）

法四：把3x2拆成4x2-x2，即（x3-x2）+（4x2-4）

法五：把x3拆为4x2-3x3，即（4x3-4）-（3x3-3x2）等

解（选择法四）：

原式=x3-x2+4x2-4

=x2（x-1）+4（x-1）（x+1）

=（x-1）（x2+4x+4）

=（x-1）（x+2）2

九、待定系数法

待定系数法是解决代数式恒等变形中的重要方法，如果能确定代数式变形后的字母框架，只是字母的系数高不能确定，则可先用未知数表示字母系数，然后根据多项式的恒等性质列出n个含有特殊确定系数的方程（组），解出这个方程（组）求出待定系数。待定系数法应用广泛，在此只研究它的因式分解中的一些应用。

例1：分解因式：2a2+3ab-9b2+14a+3b+20

分析属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法

先分解2a2+3ab-9b2=（2a-3b）（a+3b）

解：设可设原式=（2a-3b+m）（a+3b+n）=2a2+3ab-9b2+（m+2n）a+（3m-3n）b+mn

比较两个多项式（即原式与*式）的系数

m+2n=14 （1）

3m-3n=3 （2）

mn=20 （3）

m=4，n=5

原式=（2x-3b+4）（a+3b+5）

十、取值法

对于形如A x2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F的因式分解，可考虑用取值法解。

取值法：设把A x2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F分解因式，

令y=0，由原式得

A x2+Dx+F=（a1x+c1）（a2x+c2）（1）

令y=1，由原式得

A x2+（B+D）x+C+E+F=（a1x+b1+c1）（a2x+b2+c2）（2）

由（1） （2）知，原式可能分解为（a1x+b1y+c1）（a2x+b2y+c2）

经验证知，原式=（a1x+b1y+c1）（a2x+b2y+c2）

例1：把x2+2xy-8y2+2x+14y-3分解因式

解：

令y=0，由原式得

x2+2x-3=（x+3）（x-1）（1）

令y=1，由原式得

x2+4x+3=（x+1）（x+3）=（x-2+3）（x+4-1）（2）

由（1） （2）知，原式可能分解为（x-2y+3）（x+4y-1）

经验证知，原式=（x-2y+3）（x+4y-1）

结论：分解因式的方法是多样的，且其方法之间相互联系，一道题很可能要同时运用多种方法才可能完成，故在知晓这些方法之后，一定要注意各种方法灵活运用，牢固掌握！