一阶时滞微分方程周期解的存在性

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摘要: 使用弱环绕定理研究一阶时滞微分系统u′(t)=－f(u(t－r))周期解的存在性, 其中f∈C(Rn,Rn)，r>0. 在适当的假设条件下得到一个全新的存在性定理.

关键词: 弱环绕; 周期解; 临界点

中图分类号:O175

文献标识码:A文章编号:1672-8513(2010)05-0363-03

Existence of Periodic Solutions for First Order Delay Differential Equations

ZHANG Shaokang

(Department of Mathematics, Zhaotong Teachers College, Zhaotong 657000, China)

Abstract: By using the weak linking theorem, the existence of periodic solutions for the delay differential equations u′(t)=-f(u(t-r)) is studied, where f∈C(Rn,Rn) and r>0, and a new result for the existence of periodic solutions is obtained under some assumptions.

Key words: weak linking; periodic solution; critical point.

1 引言及预备知识

考虑n维空间中的时滞微分方程系统

u′(t)=－f(u(t－r)),（1）

其中f∈C(Rn,Rn)，r>0. 时滞微分系统起源于非线性增长模型和生物动力学的研究,其周期解的存在性研究已有近50年的历史［1-7］, 并且它与Hamilton系统有密切联系［3-4］. 从现有文献上看, 不动点定理和叠合度理论是寻找时滞微分方程周期解的主要工具［7］.另外，Hopf分支定理和 Poincar-Bendixson定理也被成功地应用到时滞微分方程周期解的问题上. 然而，迄今为止，使用变分法研究时滞方程的结果却并不多见. 在2005年Guo和Yu［5］率先使用变分法研究(1)的变分结构，并使用一个临界点定理获得系统(1)周期解的一个多重性结果. 据作者所知，这个多重性结果是目前为止使用变分法研究时滞微分系统所获得的唯一研究成果. 本文的目的是使用变分方法研究(1)周期解的存在性, 所使用的研究方法上和得的结果上都有较大的创新.

定义1 设E是一个Hilbert空间, I∈C1(E,R). 称I是弱对弱连续的, 如果

ukwuI′(uk)wI′(u) .

定义2 设E是一个Hilbert空间, AE,BE. 称A,B是弱环绕的, 如果对E上满足 a0[KG-*2]=supA I≤b0[KG-*2]=infB I的弱对弱连续泛函I, 都存在{uk}E及常数c使得b0≤c

引理1［8］ 设E是一个可分的Hilbert空间且它有直和分解E=MN. 若取BR={u∈E:u

在描述(1)的变分结构之前, 我们先给出本文将要用到的3个基本假设:

(i) f是奇函数, 即对任意x∈Rn都有f(－x)=－f(x);

(ii) 存在连续可微函数F使得F(x)=f(x)并且F(0)=0;

(iii)f(x)=Ax+ο(|x|)当|x|∞, 其中A[KG-*2]=(aij)n×n是一个n阶矩阵, A=[KG-*2]∑i,j|aij|

下面给出方程(1)的变分结构. 首先, 通过变量替换t[XC张学茂.tif;%50%50;S*5]π2rt=λ－1t容易把(1)变换为

u′(t)=－λf(u(t－π2)) .（2）

因此, 寻找(1)的4r周期解的问题就转化为寻找(2)的2π周期解问题. 设L2(S1,Rn)为2π周期平方可积的n维向量值函数空间. 相应的, C∞(S1,Rn)为2π周期的C∞类n维向量值函数空间. 则对任意u∈C∞(S1,Rn), 它有平方收敛的Fourier 展式u(t)[KG-*2]=au02π+1π∑+∞j=1(aujcos jt+bujsin jt). 定义uH=［|au0|[KG-*2]2[KG-*2]+[KG-*2]∑+∞j=1(1+j)(|auj|2+|buj|2)］12，记H为C∞(S1,Rn)关于・H的闭包，则H关于内积〈u,v〉H[KG-*2]=[KG-*2](au0,av0)[KG-*2]+[KG-*2]∑+∞j=1(1+j)［(auj,avj)+(buj,bvj)］构成一个Hilbert空间. 在函数空间H上定义泛函I(u)[KG-*2]=[KG-*2]∫02π［12(u・(t+π2),u(t))+λF(u(t))］dt, 其中u・为u的弱导数.定义算子L:HH*使得对任意v∈H都有Lu(v)[KG-*2]=[KG-*2]∫[KG-2]02π(u・(t+π2),v(t))dt. 由Riesz表示定理, Lu可看作H中的函数且满足等式〈Lu,v〉[KG-*2]=Lu(v), 因此, L是有界线性的. 令Φ(u)=λ∫02πF(u(t))dt, 则I(u)[KG-*2]=[KG-*2]12〈Lu,u〉[KG-*2]+Φ(u). 在H上定义有界线性算子ζ:ζu(・)[KG-*2]=u(・+π2)并令E[KG-*2]=[KG-*2]{u∈H:ζ2u=－u},则E是H的L不变子空间且L|E自伴. 特别地, 当f满足假设(i)时, E关于Φ′不变［5］.由于0不是L|E的本质谱并且KerL|E=, E有正交分解式E=MN且存在δ>0使得对任意u∈M有〈Lu,u〉[KG-*2]≥[KG-*5]δu2H, 而对任意u∈N有〈Lu,u〉[KG-*2]≤－δu2H. 从而对u[KG-*2]=[KG-*2]u++u－∈MN,u2=〈Lu+,u+〉－〈Lu－,u－〉定义了E上的一个等价范数且M,N关于相应的内积正交. 根据上面的讨论并使用文献［9］中的命题B.37，可得下面2个引理:

引理2 若f满足(ii),(iii), 则I在H上连续可微且有

〈I′(u),v〉=∫2π[KG-2]0［12(u.(t+π2)－u.(t－π2),v(t))[KG-*2]+[KG-*2]λ(f(u(t)),v(t))］dt. 另外, Φ′:〈Φ′(u),v〉= λ∫2π[KG-2]0(f(u(t)),v(t))dt是紧的.

引理3 若f满足(i)~(iii), 则I在E上的临界点是(2)的2π周期解.

引理4［9］ 设s∈［1,∞), 则H紧嵌入Ls(S1,Rn). 特别的, 存在αs>0使得uLs≤αsu.

2 主要结果

定理1 如果当x≠0时有F(x)>0并且(i)~(iii)成立, 则(1)至少有1个非常数的4r周期解.

[JP+3]证明 若{uk}是E中弱收敛于u的序列, 则由嵌入的紧性,可设{uk}在L2(S1,Rn)中强收敛, 在［0,2π］上几乎处处收敛. 因此, 对任意v∈E都有(f(uk),v)(f(u),v) a.e. ［0,2π］. 由(iii)及f的连续性知存在M1,M2使得|(f(uk),v)|≤M1|v|+M2|uk||v|. 注意到不等式的右边按L1范数收敛, 由Vitali定理即得∫2π[KG-2]0(f(uk),v)dt∫2π[KG-2]0(f(u),v)dt. 显然，LukwLu. 从而泛函I是弱对弱连续的.

因为F非负, 所以当u∈M,u∞时I(u)+∞. 我们断言当u∈N, u∞时I(u)－∞. 事实上, (iii)蕴含存在常数c使得|f(x)|≤c+［A+14λ(1－λA)］|x|, 因此, 对u∈N有I(u)[KG-*2]=－12u2+λ∫[KG-2]02π∫[KG-2]01(f(su),v)dsdt≤－18(3－3λA)u2+c1u,其中c1>0为常数, 所以断言成立.

令W={sv+u:u∈M,s≥0,sv+u=ρ}, 其中0≠v∈N. 则W是弱紧集且对每个w=sv+u∈W有I(u)=12u2－12sv2+Φ(u)≥12ρ2+Φ(u). 使用引理4和假设(iii)容易验证Φ是弱连续的, 于是存在ρ>0使得α=infw∈WI(u)>0. 现设B={u∈M:u≥ρ}∪W, 则据α的定义和上面的断言, 存在R>ρ使得a0=supAIR时,|f(x)－Ax|

ρ－1k∫2π[KG-2]0(f(uk),v)dt－∫2π[KG-2]0(Au[DD(-*5/6]~,v)dt=[JP4]ρ－1k∫2π[KG-2]0(f(uk)－Auk,v)dt+∫2π[KG-2]0(Au[DD(-*5/6]~k－Au[DD(-*5/6]~,v)dt[JP6]≤ρ－1k[JB(［]∫|uk|>Rε|uk||v|dt+∫|uk|≤R(c2+Ar)|v|dt]+∫2π[KG-1*4/5]0A|u[DD(-*5/6]~k－u[DD(-*5/6]~||v|dt[JP4]≤ε∫2π[KG-2]0|u[DD(-*5/6]~k||v|dt+ρ－1k∫2π[KG-1*4/5]0(c2+AR)|v|dt+∫2π[KG-2]0A|u[DD(-*5/6]~k－u[DD(-*5/6]~||v|dt.

因此, ρ－1k∫2π[KG-2]0(f(uk),v)dt∫2π[KG-2]0(Au[DD(-*5/6]~,v)dt,进而

[JP4]ρ－1k〈I′(uk),v〉=〈Lu[DD(-*5/6]~k,v〉+ρ－1kλ∫2π[KG-2]0(f(uk),v)dt〈Lu[DD(-*5/6]~,v〉+λ∫2π[KG-2]0(Au[DD(-*5/6]~,v)dt.

注意到ρk∞,I′(uk)0可得

∫2π[KG-2]0(u[DD(-*5/6]~(・+π2)+λAu[DD(-*5/6]~,v)dt=0.

据E的定义, u[DD(-*5/6]~有Fourier展式u[DD(-*5/6]~(t)=(π)－1∑+∞j=1(au[DD(-*5/6]~2j－1cos(2j－1)t+bu[DD(-*5/6]~jsin(2j－1)t). 对每个j, 依次取v(t)=(π)－1eicos(2j－1)t和v(t)=(π)－1eisin(2j－1)t代入上面的等式推得［λA+(－1)j(2j－1)I］au[DD(-*5/6]~2j－1=0和［λA+(－1)j(2j－1)I］bu[DD(-*5/6]~2j－1=0, 其中I是单位矩阵, ei(i=1,2,…,n)是Rn中的标准正交基. 利用λ－1(－1)j+1(2j－1)σ(A)可得u[DD(-*5/6]~=0. 记u[DD(-*5/6]~k=x[DD(-*5/6]~k+y[DD(-*5/6]~k∈MN.类似前面相应部分的证明, 容易验证

ρ－1k∫2π[KG-2]0(f(uk),x[DD(-*5/6]~k)dt∫2π[KG-2]0(Au[DD(-*5/6]~,x[DD(-*5/6]~)dt=0和ρ－1k∫2π[KG-2]0(f(uk),y[DD(-*5/6]~k)dt∫2π[KG-2]0(Asu[DD(-*5/6]~,y[DD(-*5/6]~)dt=0,

其中u[DD(-*5/6]~=x[DD(-*5/6]~+y[DD(-*5/6]~∈MN. 因此, ρ－1k〈I′(uk),x[DD(-*5/6]~k〉－ρ－1k〈I′(uk),y[DD(-*5/6]~k〉1.

另一方面, 由u[DD(-*5/6]~=0得ρ－1k〈I′(uk),x[DD(-*5/6]~k〉－ρ－1k〈I′(uk),y[DD(-*5/6]~k〉0, 这与上式矛盾. 从而{uk}在E中有界且它有弱收敛的子列,不妨设ukwu. 又因为I是弱对弱连续的,所以对任意v∈E有〈I′(uk),v〉〈I′(u),v〉,进而I′(u)=0. 定理得证.[FL)]

参考文献:

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