Dirac协变导数的扩展

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇Dirac协变导数的扩展范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘 要: 介绍了电磁相互作用条件下dirac协变导数的扩展。从量子场论的角度审视了整体规范变换下不变的Lagrange密度函数L,要使它在定域规范变换下也是不变的,则必须对其进行变化。如果将Dirac协变导数 扩展为,这样电磁场的出现就是一个必然的结果。本文用更一般的形式总结了Dirac协变导数扩展的原则,最后做出引入标量场的猜想,这为自发破缺对称性理论的进一步研究提供了一个思路。

关键词: 协变导数 规范变换 标量场 自发破缺对称性

中图分类号: O441文献标识码: A文章编号: 1007-3973 (2010) 04-102-02

在Pauli和Weisskopf重新解释Klein-Gordon方程以后,人们才认识到,Klein-Gordon方程,Dirac方程以及Maxwell方程都应该理解为场方程,分别描述自旋为0, 和 (静质量m=0)的场,分别被称为标量场,旋量场和矢量场。

在Dirac方程中,如果考虑电子与电磁场的相互作用,那么Dirac协变导数就得到扩展。既然Dirac方程代表场方程,那么,从场论的角度自然也可以对此扩展加以理解。或者说从量子场论出发也可以推导出此种扩展。甚至我们可以得出这样的结论:电磁场的出现是在某种规范不变性的要求下,对Dirac协变导数进行扩展的必然结果。然而我们不禁要问,如果对其进一步扩展又会得到什么呢?

1 在有电磁相互作用的条件下Dirac协变导数的扩展

在四维空间中 ,若令,Dirac方程可以表述为,此即Dirac方程的协变形式。它满足Lorentz不变性。这其中用了Einstein的求和约定:凡重复的下标 表示对 求和。就叫做Dirac协变导数,简记为。

在电磁势 中我们作如下变换:。再引入四维电磁势矢量 。这样,电子(电荷-e)在电磁势 下的Dirac方程,可以表述为。同样令 ,并应用Einstein的求和约定,则该方程可以简化为 。它同样满足Lorentz不变性。于是在有电磁相互作用的条件下,Dirac协变导数就得到了扩展:。那么有没有可能对其进一步扩展?如果可以,那么是否还可以引入其他的场量?

2 量子场论中Dirac协变导数的扩展

早先引入电磁相互作用的办法是从经典物理学来的,即取。于是在有电磁相互作用的情况下,Dirac方程 的Lagrange量是。其中是电磁相互作用项。值得注意的是,从另一种途径也能引入电磁场。就是引入规范相互作用,引入的过程说明如下。

为了使物理体系具有U(1)定域规范不变性(也就是在定域规范变换下不变),则必须要对Lagrange量L进行变化,通常的做法是:将 扩展为协变导数 ,使L变为。其中 满足:;。这样具有相同的变换形式,从而 在定域U(1)变换下是不变的。那么 如何定义呢?一般引入一个矢量场, ,这新引入的场 就叫做规范场。在定域U(1) 变换下。于是有

,解得:

。或写成

。由此可以看出,这里的 恰好就是电磁场。也就是说,电磁场的出现是定域U(1)不变性的必然结果。

对于电子,,引进规范场 之后,电子的Lagrange量为。在定域规范变换下,

。所以有

= 即。

综上所述,Lagrange量L要在定域规范下保持不变,就必须引入规范场,从而就引入了规范场与粒子的相互作用项。这里具体地说就是要引入了电磁势 ,从而在L中引入了电磁相互作用项 ,其中 是电磁场,就是带电Fermi场(例如电子场)。带电粒子之间通过交换电磁场的量子(光子)而发生相互作用。

定义场张量 ,构造电磁场动能项 。可知

。所以 。可见L电磁在定域U(1)规范变换下是不变的。

3 电磁场理论的抽象形成

在更普遍的情况下,上述过程可以进一步加以抽象化,如果体系包含物质场(Fermi场),并且具有定域U(1)规范不变性,即 在U(1)变换下不变。那么定义: 的定域U(1)变换为:,其中。引入,即有 当 和 按上述方式变换时, 和 就做如下变换:

。这样,由于和 在定域规范变换下具有相同的变换形式,所以就具有定域规范不变性。此时

标量场引入协变导数

总结一下前面的叙述,只要引入协变导数,并且矢量场按变换,则的变换形式为,从而使得,即与 具有相同的变换形式。这样L 在的变换下不变。

现在我们考虑如下情况:,其中,为标量场。则只要 在规范变换下的变换形式为,则有,从而使得。这样Lagrange量L在此变换下也可以保持不变。

在对协变导数做出这样的扩展之后,体系的Lagrange量(只考虑及 场)将变为:。其中,第一项为电磁场的自由动能项,而第二项则正是标量场与电磁场相互作用项。此Lagrange量在形式上与对称性自发破缺理论中的Lagrange量是十分相似的,唯一的差别就是此势能项 。

5 意义和前景

采用如上的方式,通过规范不变性的途径引入标量场在理论上具有重要意义。它使得标量场的引入更加自然、合理,同时考虑到对称性的动力学破缺,则如此引入标量场及给出的Lagrange量()可直接与动力学破缺机制结合从而导致对称性的破缺以及物理粒子获得质量。这一方面的研究正处于尝试性的起步阶段,但是理论前景是十分广阔的,还有许许多多可供深入探讨的地方。

参考文献:

[1] E.S.Abers and B.W.Lee,Phys.Rep.,9(1973)1.

[2] J.Goldstone,Nuove Cimento,19(1961)15.

[3] P.W.Higgs,Phys.Rev.Letters,12(1964)32.

[4] M.Chaves and H.Morales,Mod.Phys.Letters.A.,25(1998)2021.

[5] Wang Dian-Fu et al,Commun.Thero.Phys.,(Accepted.5152).

[6] Y.Nambu and G.Jona-Lasinio,Phys.Rev.,122(1961)345.

[7] Wang Din-Fu et al, Commun.Thero.Phys.,41(2004)729 .