谈数学习题课中的习题设计

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【摘要】数学习题课是数学教学中不可缺少的一种课型，是数学教学重要组成部分，通过配备一定数量和难度习题可以达到巩固新知识运用新知识的目的，同时还能很好地培养学生独立思考和解决问题的能力，所以习题设计好坏将直接影响学生学习质量的高低。

【关键词】高中数学 ；习题设计；层次性；针对性；启发性 ； 精选

数学习题课是高中数学教学中主要一种课型，其目的是在教师的指导下通过一定习题，使学生夯实基础拓展知识，总结规律，形成技能、技巧，有效提高教学质量。因此，教师对习题科学合理有针对性进行设计极其重要。如果教师不精心设计习题，毫无目的完全以题说题，这样往往造成学生听课效率差，不能很好引导学生对知识巩固和深化，更别提数学能力培养。下面我结合自己教学实践，谈谈精心设计习题课中的习题的几点做法。

1 将习题“变化”，培养学生思维的广阔性

将习题“变化”，即变式，就是不断变换问题呈现的方式，使事物的非本质特征时隐时现，而事物的本质特征保持不变.通过开展变式教学，有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律.所以要发挥习题教学以点带面的功能，就要对习题进行“变化”，挖掘问题的内涵和外延，提高思维的深度和广阔性，培养学生随问题变化而变化的应变能力，达到“讲一题，学一法，会一类，通一片”。

例1：书架上的一层有6本书，现插入3本不同的书，共有几种不同的放法？

本题为排列组合中相对顺序不变性模型。可先假设3本不同的书已放上，这样就相当于9个位置选择其中3个位置排列3本不同的书，故答案为。讲完此题后，教师不妨再列举如下几个题目：

（1）6个人排成一队，甲必须站在乙左边的排法有几种？

（2）3个学生，4个老师排成一队，学生自左向右按低到高排列，不同排法有几种？

（3）从a、b、c、d、e、f中选四个排队，其中a、b必选，且a必须在b左边的排法有几种？

显然，（1）中甲乙相对顺序不变，故答案为 。（2）中学生相对顺序不变，故答案为 。（3）中a、b相对顺序不变，故答案为 。

通过以上几个源于同一数学模型例题的讲解，学生对排列组合中相对顺序不变性模型有了较深刻的理解，这一模型深深刻入学生的脑海，以后遇到类似题目自然迎刃而解。当然，由于课堂时间的限制，教师只能着重分析例1，而其余题目简略带过，让学生见识见识，但仍能起到良好效果。

2 通过习题“串化”，将知识系统化

善于构建知识体系是高中教学一个重点，高中数学知识点繁多，零散的知识点不易于记忆，因此在习题课中，若教师有意识的将零散的知识归类融会设计于习题之中，通过习题教学将零散知识有机整合，就可有效避免知识零散记忆，从而让学生轻松掌握它们。例如，在讲完高中《函数》这一章之后，学生对一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数的图象已经有了较深刻认识，这些知识也是重点内容，在习题中经常用到它们。实际上，若我们查阅一些数学资料，不难发现在高中数学练习题或各类试题中，常会遇到如下几种形式的函数：（1）y=x-a；（2）y=x+bcx+d ；（3）解析式中含有[x]的函数，其中[x]为不超过x的最大整数。而这些函数图象往往是解决问题的关键。因此，教师可以设计一份专门研究以上三种函数的习题，通过将三种函数特征归类，一起讲解，使知识串联。实践证明，教学效果较佳。例如教师可以举以下例子：

例2：已知c0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+x-2c>1的解集为R，如果P与Q有且仅有一个正确，求c的取值范围。

此题解法甚多。但学生若能结合图象解题，则显得形象、直观，可避免了求分段函数的最值。

解：函数y=cx在R上单调递减0c1，不等式x+x-2c1x-2c1-x

记 =y1x-2c，y2 =1-x，在直角坐标系中，作出y1、y2图象由图象，可

知2c1， c>12

如果P正确且Q不正确，则0c≤12；如果P不正确且Q正确，则c≥1 ，所以c的取值范围为（0，12] ∪[1，+∞）。

例3：若函数f（x）=2x+x+1 在[-1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围。

本题可以利用分离常量法得f（x）=2+-2+x+1，显然该函数是由反比例函数平移得到，要满足题意，只需满足-2+0得2

3 针对重要结论进行选题，突出重点与热点内容

数学教学过程中，有些重要结论来源于课本基础知识与基本技能，是对基础知识与基本技能的进一步拓展与延伸，它们往往是考试的重点与热点。因此，对于数学中的一些重要结论，教师应在习题课中加以重视，务必使学生切实掌握这些结论，并会使用这些结论解题。

例如，在立体几何中，就有这样一个重要命题：如果一个角所在平面外的一点到角两边距离相等，那么这个点在平面内的射影在这个角平分线上。这个命题在课本中以例题形式出现，教师可以进一步引申为：从一角的顶点引这个角所在平面的斜射线，使斜射线与这个角两边的夹角相等，则斜射线在这个面内的射影是这个角的平分线。这个命题使用的频率很高，教师可针对这个命题，选编一些习题，使学生体会到这个结论的广泛应用，同时激发了学生的学习兴趣。

例3：如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°求证：C1CBD

证明：四边形ABCD为菱形ACBD，∠BCA=∠DCA

作C1O平面ABCD，垂足为O

∠C1CD=∠C1CB=60°

C 1在平面ABCD的射影O落在AC上

即射线C C1在平面ABCD内的射影为射线CA

又ACBDC C1BD

又如，在《三角函数》这一章，asin+bcos=2+b2 sin（+ ） （其中tan =b），就是一个作用较大的结论，针对这一结论，教师可设计一些化简、求值，证明、求最值的习题。

4 精选典型题目，总结解题经验与规律

在数学教学中，解题是最基本的活动形式，学生做练习，不仅对已掌握的数学知识起到巩固与深化作用，更重要的是通过练习，提炼出解题规律，总结出解题经验，以达到灵活、综合运用知识解题的目的。长期以来，数学教学一直存在着这样一种倾向：一方面教师竭尽全力，使出浑身解数向学生灌输一个个知识点，另一方面，千方百计搜集百家之题让学生做，大有不尽题目不罢休之势，以为只有多做多炼才能提高数学水平，把学生置于题海之中，给学生身心健康造成严重损害，挫伤了学生学习兴趣与热情。因此，在教学中，教师应对各个知识点做分析归纳，揭示解题规律，起到“以点带面，以少胜多”的作用。例如，在《三角函数》这一章，我们可以通过练结出这一规律：一般地，已知sin+cos，sin-cos，sincos中任何一个都可以用来求出另外两个的值。现在我们来看一看这一规律的重要作用。

例5：2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小锐角为，大正方形面积为1，小正方形面积为125，求sin2-cos2的值。

分析：根据题意，知BE= sin，AE= cos，cos-sin=AE-BE=15 ，由cos-sin=15可求得sin+cos，从而sin2-cos2=（sin +cos ）（sin-cos）可求得。

5 针对易疑点设计问题，提高思维的严谨性与精确性

在数学教学过程中，常有一些容易忽略或与其他内容相混淆而不易分清的东西，我们把这些称为数学学习中的疑点。数学教学的一个重要任务，就是要把这些疑点分辨清楚，而通过问题的解决与反思是辨清疑点的一种重要手段。实践证明，让学生充分尝到失误的“苦头”，寻找差错产生的根源，可有效地促进学生思维日臻缜密，进而提高教学效率。因此，教师在习题设计中，应先预测学生易错之处，然后有针对性地进行设计。例如，在《圆锥曲线》这一章，直线与曲线位置关系是重点，但学生在判断直线与抛物线的交点时容易犯以下错误。

（课本习题）例6：过点P（0，1）的直线使它与抛物线仅有一个交点，求直线方程 。

错解：设直线方程 y=kx+1

物线一个交点得 =0，k=12

辨析：此解有三点遗落：①过点P（0，1）的直线斜率存在与否没有考虑。

②只考虑直线与抛物有一交点情况是相切忽略直线与抛物线对称轴平行或重合时只有一个交点。

③将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为0，即k≠0而上述解法没作考虑，表现出思维不严密

故正确解法如下：当直线斜率不存在时直线方程x=0与抛物线仅有一个交点（0.0）

消去y得（kx+1）2-2x=0整理 k2x2+（2k-2）x+1=0

由直线与抛物线一个交点得k=0，k≠0时 =0，k=12

综上直线方程为x=0 y=1，y=12x+1

以上谈论了我在习题课中如何精选习题的几点做法。当然，教与学是永无止尽探索过程，作为教育工作者，我们结合教学实际不断归纳反思才能使我们教学更显完美。而在习题设计中，是教学重中之重，因此教师要重视基础知识与基本技能，突出重点，真正做到重点内容反复练，题目设计力求使学生思路拓宽、灵活，要有层次性、针对性、启发性，使学生学得轻松、愉快，又能够培养出创造性人才。

参考文献

[1]于元庆《谈习题的配备与处理》数学通报

[2]管宏斌《课本习题-数学探究教学的源泉》

[3]毛鸿翔《习题的功能》