相交线与平行线题型聚焦

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相交线、平行线的知识在初中几何中应用非常广泛，题型常以填空题或选择题的形式出现，多以由结论探索条件为主要题型.

题型一 余角概念的运用

【例1】如图，AOB是一条直线，∠AOC=90°，∠DOE=90°，问图中互余的角有哪几对？哪些角是相等的？

【思考与分析】 由互为余角的定义，只需找出图中和为90°的角即可.

解： 因为 ∠AOC=90°，∠AOB=180°，

所以 ∠BOC=90°，∠1与∠2、∠3与∠4互余.

因为 ∠DOE=90°， 所以 ∠2与∠3互余.

因为 ∠1+∠DOE+∠4=180°，∠DOE=90°，

所以 ∠1+∠4=90°.即∠1与∠4互余.

可以得到互余的角有：∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠1.

因为 ∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，

所以 ∠1=∠3（同角的余角相等）.

因为∠3与∠4互余，∠3与∠2互余，

所以 ∠2=∠4（同角的余角相等）.

题型二 垂线的定义和性质

【例2】如图，已知FEAB于E，CD是过E的直线，且∠AEC=120°，则∠DEF= .

【思考与分析】我们仔细阅读题目，经过思考发现有两种解法，第一种主要利用垂直的定义和对顶角的性质， 因为∠AEC和∠DEB是对顶角，∠AEC=∠DEB=120°，又因为 FEAB，∠BEF=90°，所以∠DEF=120°-90°=30°；第二种解法主要利用垂直的定义和邻补角的定义，由∠AEC和∠AED互为邻补角，可得∠AED=60°， 再由FEAB于E，可得∠AEF=90°，则∠DEF=90°-60°=30°.

解：∠DEF=30°.

【小结】本题主要考察我们是否掌握了角与角之间的关系，解答这类题目时，我们要清楚地知道有关概念，比如垂直，对顶角，邻补角等.

题型三、互余、互补魅力

【例3】如图3，先找到长方形纸的宽DC的中点E，将∠C过E点折起任意一个角，折痕是EF，再将∠D过E点折起，使DE和CE重合，折痕是GE，请探索下列问题：

（1）∠FEC和∠GEC互为余角吗？为什么？

（2）∠GEF是直角吗？为什么？

（3）在上述折纸图形中，还有哪些互为余角？还有哪些互为补角？

解：（1）由折纸实验，知∠3=∠1，∠4=∠2，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800

所以∠1+∠2=900，即∠FEC+∠GEC=900，故∠FEC和∠GEC互为余角.

（2）因为∠GEF=∠1+∠2=900，，所以∠GEF是直角.

（3）∠3和∠4，∠1和∠EFG互为余角，∠AGF和∠DGF、∠CEC和∠DEC互为补角等等（同学们还可以举出一些例子）.

题型四 平行线的性质与判定证明

【例4】如图，如果∠1=∠2，∠C=∠D，那么∠A=∠F吗？为什么？

【思考与分析】我们从已知条件入手分析题目.∠2和∠3互为对顶角，∠2=∠3，由∠1=∠2可得∠1=∠3，而∠1和∠3是一对同位角，由平行线的判定条件可知BD∥CE，再根据平行线的性质可得∠4=∠C.又因为已知∠C=∠D，我们可以得到∠4=∠D，从而DF∥CA，从而可以推出∠A=∠F.

解：因为∠1=∠2，∠2=∠3，

所以∠1=∠3.

所以BD∥CE.

所以∠4=∠C.

又因为∠C=∠D，

所以∠4=∠D

所以DF∥CA.

所以∠A=∠F.

题型五 利用平行线性质与判定进行运算

【例5】 如图，AB∥CD，若∠2=135°，则么∠1的度数是 （ ）

A.30° B.45° C.60° D.75°

【思考与分析】 本题主要考查平行线的性质、互为邻补角概念.

解：∠2与∠1的邻补角互为内错角，所以∠1=180°-∠2=45°.

【小结】 解答本题需要注意两点：第一，两直线平行，内错角相等，第二，互为补角与互为邻补角的区别.

题型六 学科间的综合

【例7】 已知：如图，∠AOB的两边 OA、OB均为平面反光镜，∠AOB=40°.在OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（ ）

A.60° B.80° C.100° D.120°

【思考与分析】 观察题目，我们可以利用平行线的性质，“两直线平行，同位角相等”，以及PQ与OA的夹角，与QR与OA的夹角相等的原则，可得出∠AQR=∠OQP=∠AOB=40°，借助平角的定义，则∠QPB=80°.

解：B.

【小结】在学习的过程中我们一定要注意学科间的综合，这是中考命题的热.

题型七 探究性问题

【例8】 观察图1～图5.

（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠BED，你能说明为什么吗？

反之，若∠B+∠D=∠BED，直线AB与CD有什么位置关系？请说明理由；

（2）若将点E移至图2所示位置，此时∠B、∠D、∠BED之间有什么关系？请说明理由；

（3）若将E点移至图3所示位置，情况又如何？

（4）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？

（5）在图5中，若AB∥CD，又得到什么结论？

分析：要说明（1）的结论成立，若过点E作EF∥AB，则由平行线的特征即可说明；其余几个问题也都可以按照此方法说明.

解：（1）如图1，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∠B=∠BEF.所以∠D=∠DEF，而∠BED=∠BEF+∠DEF，故∠B+∠D=∠E.

反之，若∠B+∠D=∠E，则AB∥CD.

理由：如图1，过点E作EF∥AB，则∠B=∠BEF，又因为∠B+∠D=∠E，所以∠BEF+∠D=∠E.所以∠DEF=∠D，所以EF∥CD，故AB∥CD.

（2）若将点E移至图2所示位置，此时有∠B+∠BED+∠D=360°.理由：过点E作EF∥AB，则∠B+∠BEF=180°.因为AB∥CD，所以EF∥CD.所以∠D+∠DEF=180°，故∠B+∠BED+∠D=360°.

（3）若将E点移至图3所示位置，此时有结论：∠BED+∠D=∠B.

理由：因为AB∥CD，所以∠B=∠BMD，而∠BMD=180°-∠DME=∠D+∠E，故∠E+∠D=∠B.

（4）仿照（1）可以猜想：在图3-4中，若AB∥CD，则有结论：∠E+∠G=∠B+∠F+∠D.

提示：可以分别过点E、F、G作AB的平行线，仿照（1）即可说明.

（5）由（1）和（4）同样可以猜想：在图5中，若AB∥CD，则有结论：∠E1+∠E2+…+∠En=∠B+∠F1+∠F2+…+∠Fn-1+∠D.理由略，可仿照（4）来说明.

说明：处理这类问题一定要从特殊推导出一般，并能大胆地猜想、验证，从而得到正确的结果.