从“分公”、“分爸”谈起

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一个分数它的各部分名称分别为分母、分子，那“分公”、“分爸”又从何说起呢？在第七届全国新世纪小学数学课程与教学系列研讨会中，一位老师教学《分数的认识》时，她先由分饼引出1/2，接着让学生判断哪些图形中的阴影部分可以用1/2表示，又让学生涂出一些图形的1/2，等等，在这节课的第37分左右，教师介绍了分数线及分数线下面的数叫做分母，随后教师提问：“同学们，下面的数叫做分母，你猜一猜分数线上面的数叫什么呢？”学生个个面面相觑，都没有举手。教师鼓励：“同学们，下面的数叫做分母，你大胆地猜一猜上面的数叫什么呢？”老师又着重强调了“分母”这个词，这时有一个学生举手说：“老师，分数线上面的数是叫‘分公’吗？”老师尴尬地摇摇头，又有一个小男孩说：“叫分爸吗？”话音刚落，全场听课的老师哄堂大笑，老师只好自己说：“叫分子。”

造成学生猜测“分公”、“分爸”的原因有可能是教师的教学存在如下问题。

一、是否明确分数的本质

东北师大史宁中校长在《教育与数学教育》一书中就分数的本质作了精辟的论述，分数的本质在于它的无量纲性，分数无量纲性的意义在于能够把事物的许多不可比的状态变成可比的状态。同样，1/2代表的实际意义不尽相同，但是在讨论分数1/2时又是等价的。在教学1/2时应该明确是把一个整体平均分成2份，即整体的份数是2，其中的1份是占整体的1/2，也就是1份是整体的一部分。如果教师在教学中设计一些教学活动，让学生明确分数是表示部分与整体的关系，也就是让学生体会到分数线上面的数是下面数的一部分，下面的数包含了上面的数，那么学生在猜测它的名称时就能体会到部分与整体的包含关系，而不会只凭字面猜测成与分母对等的关系——“分公”与“分爸”了。显然，只有明确了分数的本质才能更好地进行教学。

二、是否明确分数的作用

史校长指出分数主要有两个作用：一个是作为有理数出现的一种数，它能和其他的数一样参与运算；另一个是以比例的形式出现的数。

首先，就分数概念的掌握而言，我们应该清楚地看到分数所表示的这两种不同含义之间所存在的联系。例如，由“比”向“数”（比值）的过渡事实上就被看成“凝聚”，即由过程向对象的转变，这是基本数学思维形式的一个直接表现，这事实上也就从一个角度清楚地表明了这样一点：即使是小学的教学内容也同样体现了一些十分重要的数学思维。

我们在此又应清楚地指明这样一点：对于分数（有理数）事实上存在多种不同的解释（或者说，多种不同的“心理建构”）。然而，为了很好地掌握分数的概念，我们又不能停留于某种特定的解释，更不应将所说的各种解释看成是互不相关、彼此独立的。恰恰相反，只有将这些解释很好地联系起来，根据需要在不同的解释之间灵活地做出必要的转换，我们才能达到对分数概念的深刻理解。由于“整合”与“转换”事实上也可被看成数学思维的一个重要特性，因此，从这一角度分析，分数的教学也可被看成很好地体现了数学思维的基本性质。

其次，如何对数学中的比与现实中的比加以区分是一个十分重要的问题。例如，足球比赛中的“2比3”、“1比2”等究竟是否可以被看成真正的“比”或者说“以比的形式出现的分数”，还是仅仅表明了自然语言的不精确性、含糊性？进而，我们是否可以依据足球比赛的情况（如何由第一场和第二场的结果去描述总的结果）而断言“用加法计算后的结果可能与原意不符”，还是应当认为所说的情况根本不应被归属于分数的加法？为了促进相关的思考，我们可考虑这样的情况：如果足球比赛最终所出现的是“7比0”的局面，则我们似乎也应因此而断言“数学中关于分数的分母不应为零的规定严重脱离实际”。

基于同样的思考，以下的论述似乎也不够恰当：“在现实生活中，对于处理分数的加法，有时候需要分子加分子、分母加分母。”

因此，在教学中我们应明确强调：分数的加法绝对不能是“分子加分子、分母加分母”，这不应有任何的含糊。

最后，还应指明的是在小学数学统计教学中，当学生提出类似史校长列举的药物总体疗效的问题时，教师应当思考其中是否有合理的成分，是否有生活的影子，而不能一味地否定学生的“怪想法”。但是，这里所说的“合理性”又并非指我们可以依据生活情境否定相应数学规律的普遍有效性，而是指如何才能使得一个原先是不可理解的做法或算法变成可以理解的，并从表面上的“反例”最终变成了“正例”。

因此，在教学中教师只有明确分数的作用才能不为学生的“怪想法”所牵制。

三、是否明确问题的有效性

教师在教学中如何提出有效的数学问题显得尤为重要，针对本节课最后一个环节，介绍分数的各部分名称：分子、分母、分数线，这些知识是数学史中明确规定的，不需要学生的探究和猜测，也就是这部分知识应该属于讲授知识，学生只需要接受就可以了，不需要探究，那么教师也不必要提出探究性的问题，这样也就避免了“分公、分爸”的尴尬。

因此，在一节课中，教师如何提出有效的数学问题，就需要教师善于挖掘知识本质及内涵，确定针对不同类型的知识采取不同的学习方式，这样才能提出有效的问题，避免出现学生回答“分公”“分爸”的尴尬局面。

总之，教师只有深入挖掘教材，明确所教授知识的本质及内涵，才能设计出有效的教学活动。