二次函数中考常考点解析

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二次函数属于人教版全日制义务教育课程标准实验教科书《数学》中“数与代数”领域内容的重要知识点，它是刻画现实世界变量之间关系的重要数学模型.在各类检测中，二次函数的图像、图像的特征、函数关系式、函数的性质、运用二次函数及其性质解决简单的实际问题等，属重点考试内容.下面通过具体问题探讨二次函数的常考点.

考点1：二次函数的对称轴

例1：(2007年北京市西城区)抛物线y=x2－2x＋1的对称轴是( ) .

A.直线x=1 B.直线x=-1

C.直线x=2 D.直线x=-2

另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x－h)2＋k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=(x－1)2，所以对称轴为x=1，应选A．

考点2：二次函数的顶点

例2：（2007年广西壮族自治区）已知二次函数y=x2－2x－1，求它的顶点坐标.

思路点拨：可先将函数y=x2－2x－1化成顶点式，再求出顶点坐标.

解：配方得y=x2－2x－1=（x－1）2－2，

由x－1＝0得x＝1，y=－2.

二次函数顶点坐标为（1，－2）.

考点3：二次函数的最值问题

例3：（2007年江西省）二次函数y=x2 －2x－3的最小值是.

思路点拨：先求出二次函数的顶点坐标，顶点坐标的纵坐标就是最小值.

解：配方得y=x2－2x－3=（x－1）2－4.

顶点坐标为（1，－4）.

该二次函数的最小值为－4.

2.如果二次函数在一个实际问题中求最大最小值，除了考虑顶点坐标外，还要考虑自变量的端点值.

考点4：二次函数的平移问题

例4：（2007甘肃省兰州市）已知y=2x2的图像是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，求在新坐标系下抛物线的解析式.

思路点拨：由于是平移，不改变二次函数的开口方向和大小，只改变顶点的位置.把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，则顶点的横、纵坐标就会比原来减少2个单位.

解：原抛物线的顶点坐标为（0，0），

新坐标下抛物线的顶点坐标为（－2，－2）.

新坐标系下抛物线的解析式为y=2（x＋2）2－2＝2x2＋8x＋6.

评注：1.二次函数平移，不改变二次函数的开口方向和大小即二次项系数a不变，只改变顶点的位置，所以先求原抛物线的顶点，再根据平移求新抛物线的顶点，利用顶点方程式写出新的抛物线的解析式.

2.对于本题的平移，也可看成坐标系不动，将抛物线分别沿着水平方向向左和垂直方向向下平移.

考点5：二次函数图像性质的综合

例5：

1.（2007年湖南省岳阳市）小明从如图1的二次函数y=ax2＋bx＋c图像中，观察得出了下面5条信息：①a＜0；②c＝0；③函数的最小值为－3；④当x0；⑤当0＜x1＜x2＜2时，y1 ＞2.你认为其中正确的个数为（）.

A.2个B.3个C.4个D.5个

答：C

解：由图像可知：抛物线开口向上，a＞0故①错；抛物线过原点，c＝0，故②对；抛物线开口向上，其顶点纵坐标为－3，故函数的最小值为－3，故③对；抛物线过原点，其顶点坐标为（2，－3），当x＜0时，y＞0，故④对；抛物线的对称轴为直线x＝2，且开口向上，当x＜2时，函数y随x的增大而减小，故⑤对.

2.（2007年浙江省）如图2，二次函数y=ax2＋bx＋c图像开口向上，图像过点（－1,2）和（1,0），且与y轴相交于负半轴.

第1问：给出4个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0，其中正确结论的序号为.

第2问：给出4个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c=1；④a＞1，其中正确结论的序号为.

考点6：二次函数与其他函数图像的综合

例6：（2007年内蒙古自治区呼和浩特市）如图3，函数y=ax2＋bx与y=ax＋b在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）.

解：在选项A中，二次函数y=ax2＋bx的a＞0，b＝0，而对于函数y=ax＋b来说，a＞0，b＞0，则这两个函数解析式中的b的取值不一样，故排除A.同样，在选项B中，二次函数y=ax2＋bx的a＞0，b＜0，而对于函数y=ax＋b来说，a＜0，b＜0，但是从图像上来看点（0，b）在y=ax2＋bx 的图像上，而将（0，b）代入y=ax2＋bx时，y＝0，而不等于b，故排除B.在选项D中，二次函数y=ax2 ＋bx的a＞0，b＞0，而对于函数y=ax＋b来说，a＜0，b＜0，则这两个函数解析式中的a、b的取值不一样，故排除D.

评注：（1）本题考查了确定两函数图像能否在同一坐标系内的能力，主要办法是根据图像采用逐一排除法.

（2）对于二次函数的图像与a、b、c有这样的关系，①a与开口方向有关，当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下；②b与a和对称轴与y轴的位置有关，当对称轴在y轴的左边时，a与b的符号相同，当对称轴在y轴的右边时a与b的符号相反；③c与二次函数与y轴交点的位置有关，当二次函数与y轴交点在y轴的正半轴上时，c＞0，当二次函数与y轴交点的在y轴的负半轴上时，c＜0.综合以上，可用以下语言概述：左同，右异；上正，下负.

考点7：求抛物线y=ax2＋bx＋c与坐标轴的交点

例7：（2007年天津市）已知抛物线y=4x2－11x－3，求它与x轴、y轴的交点坐标.

解：由x＝0得y＝－3，所以抛物线与y轴交点坐标为（0，－3）.

考点8：用待定系数法求二次函数的解析式

例8：（2007年北京市）已知抛物线y=ax2＋bx＋c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于点B（1，0）、C（5，0）两点，求此抛物线的解析式.

思路点拨：由于已知三点，所以本题可以采用一般式求抛物线的解析式.但考虑到已知与x轴交点，所以用交点式更简单.

解：设此抛物线为y=a(x－x1)(x－x2)．(a≠0)，则x1＝1，x2＝5．

所以y=a(x－1)(x－5).

点式.

（3）当题目条件为已知图像与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x－x1)(x－x2)，(a≠0).称为交点式．

考点9：关于求二次函数解式的开放问题

例9：(2007年北京市东城区)有一个二次函数的图像，3位学生分别说出了它的一些特点：

甲：对称轴是直线x=4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．

请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式．

解：设所求解析式为y=a(x－x1)(x－x2)，且设x1＜x2，则其图像与x轴两交点分别是A(x1，0)，B(x2，0)，与y轴交点坐标是(0，a x1x2).

抛物线对称轴是直线x=4，

x1＋x2＝8①

评注：（1）本题中，只要填出一个解析式即可.

（2）本题也可用猜测验证法.例如：猜测与x轴交点为A（5，0），B（3，0）.再由题设条件求出a，看C是否整数.若是，则猜测得以验证，填上即可.

（作者单位：湖北省襄樊市第19中学）

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