有心圆锥曲线的一组性质(全文)

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1．原题再现

（苏州市2011-2012年高三调研）如图,设点P是椭圆上的任意一点(异于左,右顶点A,B).

(1) 若椭圆E的右焦点为F,上顶点为C,求以F为圆心且与直线AC相切的圆的半径;

(2) 设直线分别交直线与点M,N,求证: .

本题共由两个小问构成,第1问主要考查基础知识,主要涉及直线方程,点到直线距离公式,圆的标准方程等基础知识;第2问主要考查学生的转化与化归能力,主要涉及到直线的交点和椭圆中的定值问题.

解:(1)由题意, , .直线 .

设圆F的半径为r, 以F为圆心的圆与AC相切,

圆心F到直线AC的距离即为半径r.

(3) 设 ,直线AP,BP分别交直线与两点.

三点共线, ,即 .同理 ,即

又在椭圆上,故 . . .因此

实际上,椭圆有如下性质:

设AB是椭圆的长轴, 是椭圆上异于AB的任意一点,则 .

因此,本题中 .

2.追根溯源

本题是根据2009年福建省高考题改编而成.

已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D,椭圆的右顶点为 ,点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)求线段的长度的最小值;

(Ⅲ)略.

在第(Ⅱ)问中,假设 .由上文知 .即

,当且仅当时上式取等号.

3.试题研究

命题1 已知椭圆方程为，A,B为长轴的两个端点,直线交x轴与C点, S是椭圆上任意一点,直线AS,BS分别交直线l与MN两点,则为定值.

证明：假设 ,因为S是椭圆上点,于是有 .直线AS方程为 ,当时, .即 ;

同理可求得

进而有以下的命题:

命题2 已知椭圆方程为，A,B为短轴的两个端点,直线交x轴与C点, S是椭圆上任意一点,直线AS,BS分别交直线l与MN两点,则为定值.

命题3 已知双曲线方程为 ,A,B为实轴的两个端点,直线交x轴与C点, S是双曲线上任意一点,直线AS,BS分别交直线l与MN两点,则为定值.

证明过程与命题1类似,本文不再赘述.

推论:已知椭圆方程为 .A,B为长轴的两个端点,直线交x轴与C点, S是椭圆上任意一点,直线AS,BS分别交直线l与MN两点,则以MN为直径的圆经过x轴上的两个定点.

证明:如右图.假设以MN为直径的圆交x轴P,Q两点.

则有 ,又因为 ,即 .

因此,该圆交于两定点 .

有心圆锥曲线的一组性质