几何概型概率模型构建的辨析

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解决几何概型的问题，常常需要构建一些概率模型，将概率的问题，转化为线段的长度比、图形的面积比、角度比、几何体的体积比来求概率。但在解决问题的时候，一定要注意事件是怎样形成的，正确理解概率发生满足的条件，准确选择对应的概率模型进行计算。

例1 如图1，在矩形ABCD中，AB=23，BC=2，对角

线AC，BD相交于O，将两对角线分成的四个区域内分别涂上

红、黄、蓝、黑，在O点处装一指针，使其可以在平面ABCD

内自由转动，则指针停下时，指针落在红色区域的概率为()

A.14 B. 13 C. 38 D．38

错解 构建面积模型求概率。设指针落在红色区域记为事件A，又红色区域的面积为整个区域面积的14，故所求事件A的概率为P(A) = 14，故答案选A。

正解 构建指针转过的弧度比值，求概率。

因为∠COD=2π3,周角为2π，

所以P(A)=2π32π=13，故答案选B。

辨析 本题求的是，当指针作圆周运动时，指针落在红色区域的概率，所以应用指针旋转的角度来刻画概率，而不能用面积的大小来刻画。

变式对照 如图2，在矩形ABCD中，AB=23，

BC=2，对角线AC，BD相交于O，将两对角线分成的四

个区域内分别涂上红、黄、蓝、黑，现随机均匀地向矩

形ABCD内部撒沙粒，则沙粒落在红色区域的概率为（）

A.14B. 13C. 38D.38

（提示：P(A)=SΔCODS矩形ABCD）。

例2 如图3所示，在直角三角形ABC中，∠A=30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使AM>AC的概率。

错解 构建线段长的比值求概率。

记AM>AC为事件A，设BC=a，

因为ΔABC为直角三角形，且∠A=30°，

所以AB=2a，AC=3a，则MB=AB－AM=2a－3a,

那么AM>AC的概率

P(A)=MBAB=2a－3a2a=2－32≈0.134。

正解 构建角度的比值求概率。

记AM>AC为事件A，由题意，在ABC中，∠ACB=90°,当AM=AC时，∠ACM=75°,当AM>AC时，∠BCM=15°=π12,由几何概型的概率知：

P(A)=∠BCM∠ACB=π12π2=16≈0.167。

辨析 两种解法的不同之处在于理解事件发生的过程是不同的。误解的过程，只考虑了M在AB上运动，求满足AM>AC的概率，没有考虑M是怎样产生的。正解准确地反映了题意，即过C作射线CM交线段AB于M，当射线CM绕点C旋转时，求AM>AC的概率。因此是用CM旋转的角度来刻画概率。

变式对照 如图3所示，在直角三角形ABC中，∠A=30°，当M在AB上运动时，求使AM>AC的概率。（提示：概率为P(A)=MBAB）

例3 （2011年湖南卷•文15)已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25。则圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为。

错解 构建长度之比求概率。如图4，

由点到直线的距离公式得

d=2542+32=5>12，

圆心O到直线的距离为5，圆上一点到l时4x+3y=25

的最大值为n=r+d=12+5，则所求圆上任意一点到

直线的距离小于2（m=2）的概率为：P=mn=212+5≈0.2363。

正解 由点到直线的距离公式得d=2542+32=5。知圆心到直线的距离为5，要使圆上的点A到直线l的距离小于2，只需过A作l1∥l,使l1与l的距离为2，则l1与圆相交于B，所得劣弧AB上的点到l的距离小于2。由半径为OA=23，圆心到直线l1的距离为OC=3，劣弧AB对的圆心角为π3，故所求概率为P=π32π=16≈0.1667。

辨析 错解把基本事件看成是两平行线间的距离，用两平行线间的距离替代了题意中圆上的点到直线的距离。因为当平行线l1向l平行移动时，除了和圆相交的交点到直线l的距离小于2外，还存在不在圆上的点，也满足到直线l的距离小于2，因而概率是不等的，且错解的概率要比正解的概率大。

例4 在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，则其长超过3概率是（）

A.13B.14C.12D.15

错解 如图5，作圆O的内接正三角形ABD，

连接DO延长交圆于C，因为OD=1，易知OE=12，

AB=3，在OC上任取一点P，当P在CE上运动

时，以P为中点的弦都比AB短，当P在OE上运

动时，以P为中点的弦都比AB长，由于

P是圆内任意一点，则所求概率为：P=2CE2OC=12，

故答案选C。

正解 如图5，正ΔABD的内切圆O的半径

OE=12，其面积为S1=π4，若在ΔABD的内切圆

O内任取一点P，以P为中点的弦MN都有MN>AB。

如图6，因而所求概率P=S1S圆O=π4π×1=14，故答案选B。

变式对照 在半径为1的圆上随机取一条弦，则弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是()

A.13B.14

C.12D.15

解析 构建圆心角的弧度比求概率。如图7，

作圆内接正三角形BCD，设B点不动，点E在

劣弧BC或BD上运动，弦长BE小于正ΔBCD的

边长BC，当E在劣弧CD上运动时，弦BE的长

大于正ΔBCD的边长，所以所求概率为：

P=劣弧CD的弧长圆O的弧长=2π32π=13。

辨析 例4的错解在于，将圆内的任意一点，固定在圆内的一条直径上运动，使其任意性发生了改变。正解满足的是只要点P取在正ΔABD的内切圆内，那么以P为中点的弦都大于正ΔABD的边长，而在正ΔABD的内切圆外的点P，以P为中点的弦长都小于正ΔABD的边长。例4与变式对照不同，例4是过圆内的点作一条弦，变式对照是在圆上取两点作弦。

在求解几何概型的概率时，模型的构建是求解概率的关键，而对题意的准确理解，又是获取正确的概率模型的前提，同学们要仔细研究题意，认真类比对照，抓住概率形成的过程，使构建出的模型能准确地反映事件的概率。

（作者单位：江西省赣州市第一中学）