马氏调制费率的带干扰风险模型
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摘 要 考虑了一类具有马氏调制的带干扰连续时间风险模型,得到了该模型下其条件Gerber-Shiu折现罚金函数所满足的积分方程,Laplace变换及渐近解.在两状态情形下,当索赔额的分布为有理数情况时得到了条件Gerber-Shiu折现罚金函数的具体表达式并给出了数值例子
关键词 马氏调制；Gerber-shiu折现罚金函数；Laplace变换
中图分类号 O211.67 文献标识码 A
A Markov-Modulated Risk Model Perturbed by Diffusion
SUN Xin1，DUAN Yu1，FANG Shi-zu2
(1. Mathematics Department of Bijie University, Bijie,Guizhou 551700,China；
2. College of Mathematics and Information Science,Guangxi University,Nanning，Guangxi 530004,China)
Abstract This paper studied a Markov-modulated premium income risk model perturbed by diffusion under the condition of continuous time. The integral representations for the conditional Gerber-Shiu discounted penalty functions and the Laplace transforms of them were derived, and the asymptotic estimates for the conditional Gerber-Shiu discounted penalty functions were also derived. Under the two states model, when the claim size distribution is from the rational family,the explicit solution for the conditional Gerber-Shiu discounted penalty functions was derived. As an application,a number example was given.
Keywords Markov-modulated ; Gerber-Shiu discounted penalty function; Laplace transform
1 引 言
风险理论中一个较活跃的研究分支是对随机环境中的风险模型的研究, 其中具有马氏调制的风险模型更是被广泛研究, 例如较早的研究有［1-4，5］研究了具有马氏调制的风险模型的破产时刻的赤字［6］，研究了索赔次数和保费均受马氏过程调制的风险模型的破产概率 ［7］，研究了索赔次数受马氏过程调制的风险模型的折现罚金函数.在本文中, 利用Gerber-Shiu折现罚金函数的性质,研究一类带干扰的具有马氏调制费率的复合Poisson风险模型的Gerber-Shiu折现罚金函数.
2 模型的引入及记号
本文所出现的随机过程(变量)都是指定义在同一完备概率空间(Ω,F,P)上的随机过程(变量).
令
Rt=u+∫t0cJ(v)dv－∑Nti=1Zi+σB(t),t≥0, (1)
其中u=R0≥0是初始盈余,Rt称为保险公司在时刻t时的盈余资产,{J(t),t≥0}、N(t),t≥0和{Zi,i≥1}所代表的过程和文献［7］中含义是相同的, {B(t),t≥0}是标准的布朗运动,且假设{Zi,i≥1},N(t),t≥0,{J(t),t≥0},{B(t),t≥0}相互独立．即本文要研究的具有马氏调制费率的带干扰风险模型.
记T=inf t≥0t≥0,Rt＜0（T=∞,如果对任意t＞0,有Rt≥0）为破产时刻,对于给定的初始状态i,其条件破产概率记为ψiu,则有ψiu=P(R(t)＜0,某t＞0|J(0)=i,R(0)=u),ψu=∑ni=1πiψiu为具有初始分布πi的破产概率,对应的条件生存概率δiu=1－ψiu,i=1,2...n,最终生存概率δu=1－ψu.现在定义初始状态为i时的条件Gerber-Shiu折现罚金函数为
φ(u,i)=ω0φd(u.i)+φω(u,i),
其中
φd(u,i)=E［e－δTI(T＜∞,U(T)
=0)|U(0)=u,J0=i］(φd(0,i)=1). (2)
可以看做是由干扰引起的破产时刻T的Laplace变换,而
φω(u,i)=E［e－δTw(U(T－),|U(T)|)
I(T＜∞)|U(0)=u,J(0)=i］,(φω(0,i)=0) (3)
是由索赔引起的罚金折现期望函数.其中I(・)为示性函数,w(x,y)为非负的有界二元实函数,U(T－),|U(T)|分别表示破产时瞬时盈余和破产时赤字.δ为非负实数,e－δT可理解为折现因子.以下都假设φu,i关于u可导, φu=∑ni=1πiφu,i为具有初始分布πi的Gerber-Shiu折现罚金函数.很自然可定义保险公司经营的相对安全负荷为
ρ=c－μβμβ，
其中c=∑ni=1qici,且总假设ρ＞0.
3 主要结果
记ω(u)=∫∞uω(u,x－u)f(x)dx,I=diag(1,1,1…,1),0代表一列向量,e=(1,1,…,1)t,C=(c1,c2,…,cn)t,
φω(u)=(φω(u,1),φω(u,2),…,φω(u,n))t,φd(u)=(φd(u,1),φd(u,2),…,φd(u,n))t.其中At表示矩阵或向量A的转置.
定理1 令u≥0,则φω(u)和φd(u)分别满足式(4)的积分微分方程
σ22φ″ω(u)+Cφ′ω(u)+(Q－(β+
δ)I)φω(u)+β∫u0φω(u－x)dF(x)+
βeω(u)=0, (4)
σ22φ″d(u)+Cφ′d(u)+(Q－(β+
δ)I)φd(u)+β∫u0φd(u－x)dF(x)=0. (5)
证明 在很小的时间区间0,Δh内可以分成以下几种情况
1)J(t),t≥0无状态转移,并且无索赔发生;2)J(t),t≥0无状态转移,且有一次索赔发生,但尚未导致破产;3)在0,Δh内J(t),t≥0无状态转移,且有一次索赔发生,且该次索赔导致破产;4)在0,Δh内J(t),t≥0从状态i发生一次转移,但无索赔发生;5)在0,Δh内至少发生一次索赔并且J(t),t≥0在0,h内至少发生一次状态转移.
因此利用向后差分方程,令Vi(Δh)=u+ciΔh+σB(Δh),i∈S,得
φω(u,i)=［1－βΔh－λiΔh+ο(Δh)］e－δΔh・
E［φω(u+ciΔh+σB(Δh),i)］+［1－λiΔh
+ο(Δh)］∫Δh0β e－(β+δ)sE［∫u+cis+σB(s)0φω(u+
cis+σB(s)－z,i)dF(z)+
∫∞u+cis+σB(s)ω(u+cis+σB(s),z－u－cis－
σB(s))dF(z)］ds+(1－βΔh+ο(Δh))・
∑nj=1,j≠ipij∫Δh0λie－(λi+δ)sE{φω(u+
cis+σB(s)+cj(h－s)+σB(h－s),
j)}ds+ο(Δh). (6)
记D=12σ2,由麦克劳林级数
E［φω(Vi(Δh),i)］=E(∑2k=01k!φ(k)ω(u,i)［ciΔh+
σB(Δh)］k+13!φω(u,i)［ciΔh+σB(Δh)］3)
=φω(u,i)+［ciφ′ω(u,i)+Dφ″ω(u,i)］Δh+ο(Δh),
令Δh0并整理得
σ22φ″ω(u,i)+φ′ω(u,i)ci=(β+
δ)φωu,i－β［∫u0φωu－z,idFz+
∫∞uωu,z－udFz］－λi∑nj=1pijφω(u,j).
则对所有的i∈S得
σ22φ″ω(u)+Cφ′ω(u)+(Q－(β+
δ)I)φω(u)+β∫u0φω(u－x)dF(x)+βeω(u)=0.
同理得
σ22φ″d(u)+Cφ′d(u)+(Q－
(β+δ)I)φd(u)+β∫u0φd(u－x)dF(x)=0.
令w(u)=∫∞uω(u,z－u)dF(z),(s)=∫∞0e－suw(u)du为w(u)的Laplace变换,φω(u,i)的Laplace变换记为φω~(s,i)=∫∞0e－stφω(t,i)dt,记ω(s)=(φω~(s,1),φω~(s,2)…φω~(s,n))t.
引理2 对δ＞0, 记ai(s)=σ22s2+cis－δ－β(1－(s)),i∈S.令
A(s)=a1(s)00000a2(s)00000000000000000an(s)n×n+Q,
则称方程det A(s)=0为带干扰马氏调制模型的广义Lundberg基本方程. det A(s)是矩阵A(s)的行列式.det A(s)=0有n个正实根ρ1,ρ2,ρ3，…ρn.
证明 仿［5］定理1的证明可推得.
定理3 对s{s||A(s)|=0},ω(s)和d(s)可表示为:φω~(s)=A(s)－1Bω(s),φd~(s)=A(s)－1Bd(s).其中 i∈S,s∈C.
证明 σ22φ″ω(u,i)+φ′ω(u,i)ci=(β+δ)φω(u,i)－β［∫u0φω(u－z,i)dF(z)+∫∞uω(u,z－u)dF(z)］－λi∑nj=1pijφω(u,j),
对上式两端进行Laplace变换并整理得
［σ22s2+cis－(λi+δ)－β(1－
(s))］i(s)+λi∑nj=1,j≠ipijφj~(s)
=σ22φ′ω(0,i)－β(s)，
则对所有的i∈S,上式可以表示成矩阵的形式
A(s)φω~(s)=Bω(s),s∈C. (7)
其中
Bω(s)=(σ22φ′ω(0,1)－β(s),
σ22φ′ω(0,2)－β(s),…
σ22φ′ω(0,n)－β(s))t.
则对 s{s||A(s)|≠0},有ω(s)=A(s)－1Bω(s),s∈C.
同理令
φd~(s,i)=∫∞0e－suφd(u,i)du,
d(s)=(φd~(s,1),φd~(s,2)…φd~(s,n))t,
可得
φd~(s)=A(s)－1Bd(s). (8)
其中
Bd(s)=(σ22φ′d(0,1)+σ22s+c1,
σ22φ′d(0,2)+σ22s+c2,…
σ22φ′d(0,n)+σ22s+cn)t.
定理4 φω(u),φd(u),φ(u)的渐近解分别为:
φω(u)~Aωe－Rδu,
φd(u)~Ade－Rδu,
φ(u)~(ω0Ad+Aω)e－Rδu.
其中
Aω=A(－Rδ)Bω(－Rδ)s(det A(s))|s=－Rδ,
Ad=A(－Rδ)Bd(－Rδ)s(det A(s))|s=－Rδ.
证明 由定理2的结论知,对任意的R(s)＞0的s,有
ω(s)=A(s)－1Bω(s)=A(s)Bω(s)det A(s),
d(s)=A(s)－1Bd(s)=A(s)Bd(s)det A(s) (9)
是解析的.假设(s)存在,则由式(9)知,对所有R(s)＞－Rδ的s是解析的.其中－Rδ表示detA(s)=0在负复半平面上的具有最大实部的零根(也称为推广的调节系数).则有Laplace变换的性质得
l(eRδuφω(u,i))=φω~(s－Rδ,i),
l(eRδuφd(u,i))=φd~(s－Rδ,i)，
所以
lim u∞eRδuφω(u)=lim s0sφω~(s－Rδ)=Aω，
lim u∞eRδuφd(u)=lim s0sφd~(s－Rδ)=Ad.
假设上述极限存在,(例如如果eRδuφω(u)是u的单调递增函数(i=1,2,3,…n)).为了方便起见,
令s=－Rδ是φω~(s,i)的单极点(或称一阶极点).因此有de-L'Hopital定理,得到
Aω=A(－Rδ)Bω(－Rδ)s(det A(s))|s=－Rδ,
Ad=A(－Rδ)Bd(－Rδ)s(det A(s))|s=－Rδ.(10)
因此得到了折现罚金函数的渐近解.
注 当n=1(即没有马氏环境的情况下),此时α1=0,模型(1)就简化为带干扰的经典风险模型,则式(9)就转化为
(Ds2+cs－λ－δ+λ(s))φω~(s)=λ((ρ)－(s)),(Ds2+cs－λ－δ+λ(s))φd~(s)=Dφ′d(0)+Ds+c.若索赔额分布f(x)的Laplace变换(s)存在,且lim u∞eRuφ(u)存在, 其中ρ和R是方程Ds2+cs－λ－δ+λ(s)=0的两根,则lim u∞eRuφ(u)=λ((－R)－(ρ))+ω0(ρ+R)D－λf′(－R)－c+2DR即是［8］中的结论.
4 两状态情形及数值例子
下面讨论马尔克夫过程{J(t),t≥0}的状态为2时的模型.在这种情况下,第二部分中的矩阵
A(s)有如下的形式
A(s)=a1(s)－λ1λ1λ2a2(s)－λ2,
且特征方程det A(s)=0.对δ＞0可以写成
G(s)=(a1(s)－λ1)(a2(s)－λ2)－λ1λ2=0. (11)
在复平面的右半平面上有两个正的实根, 记为ρ1,ρ2.
对任意函数h(x),定义它关于复数ρ1,ρ2的一阶均差［8］h［ρ1,ρ2］=h(ρ2)－h(ρ1)ρ2－ρ1,二阶均差h［ρ1,ρ2,ρ3］=h［ρ1,ρ3］－h［ρ1,ρ2］ρ3－ρ2.将均差的概念推广到向量或矩阵, 更多详细内容参阅文献［8］.
令Λ=diag(β,β),(s)=((s),(s))T,式(9)可以写成
ω(s)=A(s)－1Bω(s)=A(s)Bω(s)det A(s),
d(s)=A(s)－1Bd(s)=A(s)Bd(s)det A(s), (12)
其中A(s)为矩阵A(s)的伴随矩阵.由于φω~(s)对任意R(s)＞0的s都有限,且有引理2知假设ρ1,ρ2是det A(s)=0的根,则ρ1,ρ2也是式(12)的分子的根.也即
A(ρ1)Bω(ρ1)=A(ρ2)Bω(ρ2), (13)
由均差的定义知,式(13)等价于
A［ρ1,ρ2］Bω(ρ2)=A(ρ1)Bω［ρ1,ρ2］
=A(ρ1)Λ［ρ1,ρ2］, (14)
其中［ρ1,ρ2］=(［ρ1,ρ2］,［ρ1,ρ2］)t.
定理5 φ′ω(0)和φ′d(0)满足
φ′ω(0)=2βσ2{{A［ρ1,ρ2］}－1A(ρ1)・
［ρ1,ρ2］+(ρ2)}e,
φ′d(0)=－{A［ρ1,ρ2］}－1・
A(ρ1)e－(ρ2e+2σ2C).
此时
e=(1,1)T,C=(c1,c2)T,
φ′ω(0)=(φ′ω(0,1),φ′ω(0,2))T,
φ′d(0)=(φ′d(0,1),φ′d(0,2))T.
证明略.
定理6 当{J(t),t≥0}的状态为2时,ω(s),d(s)可以表示为
φω~(s)=(s－ρ1)(s－ρ2){－A［ρ1,s］Λ［ρ2,s］－A(ρ1)Λ［ρ2,ρ1,s］+A［ρ2,ρ1,s］Bω(ρ2)}det A(s),φd~(s)=(s－ρ1)(s－ρ2){A［ρ1,s］De+A［ρ2,ρ1,s］Bd(ρ2)}det A(s),
其中Bd(ρ2)=－D{A［ρ1,ρ2］}－1A(ρ1)e，Bω(ρ2)=β{A［ρ1,ρ2］}－1A(ρ1)［ρ1,ρ2］e.
证明 只证φω~(s),类似可得φd~(s). 因为ρ1,ρ2为 det A(s)=0的解, 所以由式(12)得
A(s)B(s)=(s－ρ1)(s－ρ2){－A［ρ1,
s］Λ［ρ2,s］－A(ρ1)Λ［ρ2,ρ1,s］+
A［ρ2,ρ1,s］B(ρ2)}, (15)
由式(15)知
φω~(s)=A(s)Bω(s)det A(s)
=(s－ρ1)(s－ρ2){－A［ρ1,s］Λ［ρ2,s］－A(ρ1)Λ［ρ2,ρ1,s］}det A(s)
+(s－ρ1)(s－ρ2)A［ρ2,ρ1,s］Bω(ρ2)det A(s),
将其整理即得φω~(s)的表达式,类似可得φd~(s)的表达式.
下面考虑当索赔额的密度函数为有理函数族时的情形.例如(s)=pk(s)pk－1(s)(k∈N+),其中pk(s)为k次多项式,pk－1(s)为k－1次多项式,首项系数均为1,且满足pk－1(0)=pk(0),pk(s)=0解的实部均为负.则有
定理7 当{J(t),t≥0}的状态为2,(s)=pk(s)pk－1(s)时,φω(u)、φd(u)可以表示为
φω(u)=1D2∑2k+2j=1e－Rju{(－diag(h2j,
h1j)ΛTρ2ω(u)－gjA(ρ1)ΛTρ2Tρ1ω(u)+
diag(g2j,g1j)Bω(ρ2)},
φd(u)=1D2∑2k+2j=1{e－Rjudiag(h2j,
h1j)De+diag(g2j,g1j)Bd(ρ2)}.
证明 只证φω(u),类似可得φd(u), (12)式的分子分母同乘以p2k得
ω(s)=A(s)Bω(s)p2k(s)det A(s)p2k(s), (16)
所以式(12)的分母是次数为2k+4的多项式，且首项系数为D2,记作D2k+4(s).由引理2知det A(s)=0有正根ρ1和ρ2和两个实负根,所以D2k+4(s)=det A(s)p2k(s)=D2(s－ρ1)(s－ρ2)Π2k+2i=1(s+Ri),其中Ri是具有正实部的复数,为简单起见,假设Ri(i=1,2…2k+2)互不相同.
令
hi(s)=ai［ρ1,s］p2k(s),
gi(s)=ai［ρ1,ρ2,s］p2k(s),i=1,2.
其中ai［ρ1,s］=D(s+ρ1)+ci+λ［ρ1,s］,ai［ρ1,ρ2,s］=D+λ［ρ1,ρ2,s］(i=1,2).不难看出hi(s)和gi(s)分别是次数为2k+1和2k的多项式.由定理6知,式(16)可以重新写为
ω(s)=－diag(h2(s),h1(s))Λ［ρ2,s］－
A(ρ1)Λ［ρ2,ρ1,s］p2k(s)+diag(g2(s),
g1(s))Bω(ρ2)/D2Π2k+2j=1(s+Rj),
进而可写为
ω(s)=1D2∑2k+2j=11s+Rj{－diag(h2j,
h1j)Λ［ρ2,s］－gjA(ρ1)Λ［ρ2,ρ1,s］+
diag(g2j,g1j)Bω(ρ2)},
i=1,2,j=1,2,…,2k+2, (17)
其中
hij=hi(－Rj)Π2k+2v=1,v≠j(Rv－Rj),
gij=gi(－Rj)Π2k+2v=1,v≠j(Rv－Rj),
gj=pk(－Rj)Π2k+2v=1,v≠j(Rv－Rj),
类似的，得到
d(s)=1D2∑2k+2j=11s+Rj{diag(h2j,
h1j)D+diag(g2j,g1j)Bd(ρ2)},(18)
引入算子Trh(y)=∫∞ye－r(x－y)h(x)dx,y≥0.对式(17)和(18)利用此算子及Laplace变换的逆运算即得定理结论.
例8 当δ=0,ω(x,y)=1,ω0=1,此时式(2)和(3)就分别转化为模型(1)在初始状态为i、初始盈余为u时的由索赔引起的破产概率和由干扰引起的破产概率.索赔额为指数分布时,其密度函数的Laplace变换为(s)=p0p1=βs+β,而且有ω(u)=e－βu,u≥0,ρ1=0和ρ2=ρ是方程(11)的解,方程D5(s)=0的其他三个根记为－Rj,j=1,2,3,其中Rj均有正的实部.考虑c1=1,c2=2,λ=1,f(x)=e－x,α1=13,α2=23的情况.在这种情形下,方程|A(s)|p2(s)=0有6个根,分别为0, 0.647 236, －2.813 096, －2.060 912, －0.632 861, －0.140 367.
因此
ψs(u)=－0.213 710e－2.813 096u－0.183 025e－2.060 912u+0.314 278e－0.632 861u+0.080 731e－0.140 367u,
ψd(u)=0.161 514e－2.813 096u－0.011 220e－2.060 912u+0.432 456e－0.632 861u+0.394 516e－0.140 367u,
ψ(u)=－0.052 196e－2.813 096u－0.194 245e－2.060 912u+0.746 734e－0.632 861u+0.475 243e－0.140 367u
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