聚焦中考几何综合题

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一、质点运动型

例1 将一副三角尺如图1所示拼接:含30°角的三角尺(ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(ACD )的斜边恰好重合.已知AB=2,P是 AC上的一个动点.

(1)当点P运动到∠ABC的平分线上时,连接DP,求DP的长;

(2)当点P在运动过程中出现PD=BC时,求此时∠PDA的度数;

(3)点P运动到什么位置时,以D,P,B,Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上?求出此时DPBQ的面积.

解析:(1)如图1作DFAC,在DPF中,用勾股定理求解;(2)当PD=BC时,要分图2和图3两种情况进行讨论;(3)如图4,要使四边形DPBQ为平行四边形,需作DPAC可得BC∥DP,可以利用(1)中结论求解.

在RtABC中,AB=2,∠BAC=30°,

BC=,AC=3.

(1)如图1作DFAC,在RtACD中,AD=CD,

DF=AF=CF=.

点P运动到∠ABC的平分线上,

∠PBC=30°.

CP=BC×tan30°=1.

PF=.

DP==.

(2)①当P点位置如图2所示时,根据(1)中结论,DF=,∠ADF=45°,又PD=BC=,

cos∠PDF==,∠PDF=30°.

∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°.

②当P点位置如图3所示时,同(2)可得∠PDF=30°.

∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°.

(3)CP=,如图4,在DPBQ中, BC∥DP,

∠ACB=90°,DPAC.

根据(1)中结论可知,DP=CP=,

SDPBQ=DP×CP=.

点拨:对于质点运动型问题,要从相对静止的瞬间捕获图形变化前后各种量之间的关系.另一方面,要结合问题自身的特点,利用函数和方程模型,化未知为已知,这是解决动点问题常用的方法.此类题往往还渗透分类讨论等数学思想和方法.

二、图形运动型

例2如图5,在RtABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=4,另有一等腰梯形DEFG(GF∥DE)的底边DE与BC重合,两腰分别落在AB、AC上,且G、F分别是AB、AC的中点.

(1)直接写出AGF与ABC的面积的比值;

(2)操作:固定ABC,将等腰梯形DEFG以每秒1 个单位的速度沿BC方向向右运动,直到点D与点C 重合时停止.设运动时间为x秒,运动后的等腰梯形为DEF'G'(如图6).

①探究1:在运动过程中,四边形CEF 'F能否是菱形若能,请求出此时x的值;若不能,请说明理由.

②探究2:设在运动过程中ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y,求y与x的函数关系式.

解析:(1)由AGF与ABC相似,根据面积比等于相似比的平方从而求出比值;(2)当CE=CF时,则四边形CEF'F是菱形,便可求出x的值;(3)在运动过程中ABC与等腰梯形DEFG重叠部分为等腰梯形或三角形,再通过面积公式表示出y.

解:(1)AGF与ABC的面积比是1∶4.

(2)①能为菱形.

由于FC∥EF',CE∥FF',所以四边形CEF'F是平行四边形.

当CE=CF=AC=2时,四边形CEF'F为菱形.

此时可求得x=2.

当x=2秒时,四边形CEF'F为菱形.

②分两种情况:

第一种:当0≤x

如图7,过点G作GMBC于M.

AB=AC,∠BAC=90°,BC=4,G为AB中点,

GM=.

又G、F分别是AB、AC的中点,

GF=BC=2.

FG'=2-x,DC=4-x,GM=,

重叠部分的面积为:

y=×=6-x.

当0≤x

第二种:当2≤x≤4时,重叠部分为三角形(如图8).

设FC与DG'交于点P,则∠PDC=∠PCD=45°.

∠CPD=90°,PC=PD.

作PQDC于Q,则PQ=DQ=QC=(4-x) .

重叠部分的面积为:y=(4-x)×(4-

x)=(4-x)2=x2-2x+8.

综上, 当0≤x

点拨:本题是将给定的线或面按某种方式沿直线(曲线)运动,要求我们去探索得到相应的结论,同时给予证明或说明理由.对于重叠部分的面积,首先要弄明白重叠部分是如何形成的,它的面积是哪些规则图形面积的和或差,而对于有些重叠部分面积的问题,还需根据具体情况分类讨论.

三、图形变换型

例3 如图9,若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形,显然图中有AG=CE,AGCE.

(1)当正方形GFED绕D旋转到如图10的位置时,AG=CE是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

(2)当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时,延长CE交AG于H,交AD于M.

①求证:AGCH;

②当AD=4,DG=时,求CH的长.

解析:(1)根据题意,易得AD=CD,GD=ED,∠GDA=

90°-∠ADE=∠EDC,所以AGD≌CED,AG=CE.

(2)题①要证明AGCH,鉴于前一题已经证明了AGD≌CED,则有∠GAD=∠ECD,而∠HMA=∠DMC,易得∠AHM=∠ADC=90°.

题②已知AGCH,可连结AC,形成RtAHC,只需得到AC与AH的长度,CH便可利用勾股定理求解.

(1)AG=CE成立.

四边形ABCD、四边形DEFG是正方形,

AD=CD,GD=ED,∠GDE=∠ADC=90°.

∠GDA=90°-∠ADE=∠EDC,

AGD≌CED .

AG=CE.

(2)①类似(1)AGD≌CED.

∠GAD=∠ECD.

∠HMA=∠DMC,

∠AHM=∠ADC=90°,即AGCH.

②过G作GPAD于P,连接AC,如图12.

由题意有GP=PD=×sin45°=1,AC=4.

AP=3则tan∠GAP==.

∠GAD=∠ECD

tan∠DCM==tan∠GAP=.

DM=,即AM=AD-DM=.

在RtDMC中,

CM===.

而AMH∽CMD,=,即=.

AH=.

CH===.

所求CH的长为.

点拨:图形变换常见的三种形式:平移、旋转和翻折.在图形的变化过程中感悟到“运动”与“静止”,“一般”与“特殊”的内在联系,解这类题的关键是运用图形变换中的不变性(变换前后,图形的边长和角的度数不变等)寻求数量关系,将运动的几何元素当作静止来加以解答.

四、探索存在型

例4 刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图13、14.图13中,∠B=90°,∠A=30°,BC=6cm;图14中,∠D=90°,∠E=45°,DE=4cm.图15是刘卫同学所做的一个实验:他将DEF的直角边DE与ABC的斜边AC重合在一起,并将DEF沿AC方向移动.在移动过程中,D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合).

(1)在DEF沿AC方向移动的过程中,刘卫同学发现:F、C两点间的距离逐渐_______.(填“不变”、“变大”或“变小”)

(2)刘卫同学经过进一步地研究,编制了如下问题:

问题①:当DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,F、C的连线与AB平行?

问题②:当DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?

问题③:在DEF的移动过程中,是否存在某个位置,使得∠FCD=15°?如果存在,求出AD的长度;如果不存在,请说明理由.

请你分别解答上述3个问题.

解析:(1)“F、C两点间的距离”可利用勾股定理求得;(2)问题①、②利用直角三角形的相关知识即可完成,问题③先假设∠FCD=15°,求出PC+PD的长,并与AC比较,从而得出结论.

(1)变小.

(2)问题①:∠B=90°,∠A=30°,BC=6cm,

AC=12cm.

∠FDE=90°,∠DEF=45°,DE=4cm, DF=4cm.

连接FC,设FC∥AB.

∠FCD=∠A=30°.则在RtFDC中,DC=4cm.

AD=AC-DC=(12-4)cm.

即AD=(12-4)cm时,FC∥AB.

问题②:设当AD=xcm时,以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形.

在RtFDC中,FC2=DC2+FD2=(12-x)2+16.

Ⅰ当FC为斜边时,由AD2+BC2=FC2得,

x2+62=(12-x)2+16,x=.

Ⅱ当AD为斜边时,由FC2+BC2=AD2得,

x2=62+(12-x)2+16,x=>8(不符合题意,舍去).

Ⅲ当BC为斜边时,由AD2+FC2=BC2得,

x2+(12-x)2+16=62,则x2-12x+62=0.

Δ=144-248

综上,当x=时,以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形.

问题③:不存在这样的位置,使得∠FCD=15°.

假设∠FCD=15°,由∠FED=45°,得∠EFC=30°.

作∠EFC的平分线,交AC于P,

则∠EFP=∠CFP=∠FCP=15°.

PF=PC,∠DFP=∠DFE+∠EFP=60°.

PD=4,PC=PF=2FD=8.

PC+PD=8+4>12.

不存在这样的位置,使得∠FCD=15°.

点拨:解决存在性问题的一般思路是:先对结论作出肯定的假设,然后由肯定假设出发,结合已知条件或挖掘出隐含条件,辅以方程思想、数形结合思想等,进行正确的计算、推理;再对得出的结果进行分析检验,判断是否与题设、公理、定理等吻合.若无矛盾,说明假设正确,由此得出符合条件的数学对象存在;否则,说明不存在.