篮子期权定价的蒙特卡罗方法研究

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇篮子期权定价的蒙特卡罗方法研究范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

【摘要】篮子期权是多标的资产的一个投资组合期权,随着投资者对其投资组合分散化日益增长的要求,人们对这种投资组合期权的需求也不断增加。当维数不断增大时,运用蒙特卡罗模拟法来定价相对来说更可行。但是随着维数的增多,模拟的效率将大幅度下降,因此对模拟进行适当的改进是十分必要的。本文在给出篮子期权定价的蒙特卡罗模拟模型基础上,应用方差减少技术中的控制变量法进行改进,并以欧式看涨篮子期权为例,进行了模拟分析。

【关键词】篮子期权;蒙特卡罗模拟;方差减少技术;控制变量法

引言

在金融衍生证券中以期权的使用范围最为广泛,期权考虑到了套期保值者对付单边的风险,对其的定价研究也可追溯到上世纪七十年代。1973年,Black和Scholes[1]开创性地推导出了欧式期权定价的模型。在无封闭解的情形下,期权定价一般需要寻求数值解法,目前这类期权数值定价方法很多,诸如二项式模型(Cox、Ross和Rubinstein[2])、有限差分(隐式和显式)和蒙特卡罗模拟方法。在实际的国际金融衍生市场中,除了交易人们广为熟悉的欧式、美式期权之外,还涌现了大量由标准期权变化、组合、派生出的新品种,即新型期权。近年发展起来的多标的期权就是其中的一种。

篮子期权(basket option)属于多标的期权的一种,是由多个风险资产构成的资产组合期权,常被用来对一篮子的资产进行套期保值,其收益由一篮子标的资产的加权平均价格决定,本质上就是多标的资产的一个投资组合的期权。随着投资者对其投资组合风险分散化要求的日益增长,篮子期权较小的风险波动和较好的套期保值功能越来越受到投资者的关注,人们对篮子期权的需求也不断增加。在这一大背景下,对篮子期权定价问题的研究更具实用意义。

在针对篮子期权进行定价的研究中多数是采取解析法。Ju(2002)[3]提出了亚式篮子期权的解析近似方法,该方法利用了泰勒展式,并用一个对数正态随机变量近似篮子期权标的,得到了一个亚式篮子期权的解析近似解。Atkinson, Alexandropoulos(2006)[4]应用随机控制方法来定价欧式篮子期权。在资产价格服从对数正态分布的假设下,可以成功的减少控制问题中的维度。研究结果表明通过对B-S公式的轻微改动可以较好的解决多维度问题。Deelstra(2008)[5]等人在B-S公式的框架下提出欧式离散算术平均亚式篮子期权的边界。他们找到了随机变量和的上界和下界,并解出了封闭解析解,进行了数值实验。但是对于低维篮子期权,因为它只包括少数几种不同的股票,定价的误差会很大。在这种情况下,应用蒙特卡罗法对篮子期权进行定价成为了较好的选择。

蒙特卡罗方法为期权定价的开山之作是Boyle(l977)[6],他指出方差减少技术可以提高蒙特卡罗方法的计算效率,并分别用标准蒙特卡罗方法和结合了对偶变量技术和控制变量技术的蒙特卡罗方法为欧式分红看涨股票期权进行了定价。Hull和White(1987)[7]应用结合了控制变量的蒙特卡罗方法为标的资产为随机波动率的期权定价。Kemna和Vorst(1990)[8]采用蒙特卡罗方法为算术平均亚式期权定价,并利用几何平均亚式期权作为控制变量得到了更精确的估计结果。本文在前人研究的基础上,应用蒙特卡罗法对篮子期权进行定价,并采用方差减少技术以期提高模拟的效率和精度。

1.篮子期权定价理论基础

1.1 基于多个随机变量的伊藤引理

由于算法本身的复杂性,以及繁重的计算工作量,对篮子期权的定价将是一种挑战。除了需要应用相关随机过程和多变量伊藤引理外,对篮子期权的定价模型和数学方法与单一资产期权的定价方法相似。根据统计理论的中央极限定理,我们可以假定该标的资产组合的价格变动过程服从对数正态分布。

为了求出基于多标的资产衍生证券的Black-Scholes微分方程,Ito引理必须一般化为多随机变量,我们假定每个标的资产价格情况都服从几何布朗运动:

这里dWt是一个维纳过程,m1是标的资产价格的期望收益。假定标的资产过程相关,标的资产,的相关系数为,总共有n个标的资产。

令表示标的资产与时间的函数。用Ito引理表示为: