巧用分离参数法求参数的取值范围
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恒成立问题能够很好的考查函数、不等式等知识以及化归等数学思想，是一种常考题型．分离参数法是常用的求参数取值范围的策略之一，在恒成立问题中常用分离参数法求参数取值范围．a≥f(x)恒成立a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立a≤f(x)min．用此法首先要设法分离参数，然后求函数f(x)的最值．
例1当0≤x≤12时，|ax－2x3|≤12恒成立，求实数a的取值范围．
思路点拨：本题是恒成立问题中求参数取值范围，注意到|ax－2x3|≤12中含有绝对值，先用公式去绝对值得－12≤ax－2x3≤12，问题转化为ax－2x3≥－12ax－2x3≤12在［0,12］上恒成立．此时要分离参数a，注意到x的符号，需对x是否为0分类讨论．
解析：10当x=0时，|ax－2x3|≤12恒成立．
20当0
a≥2x2－12xa≤2x2+12x在（0,12］恒成立．
令f(x)=2x2－12x，g(x)=2x2+12x则原命题a≥f(x)maxa≤g(x)min
且f′(x)=4x+12x2>12，
g′(x)=4x－12x2＝(2x-1)(4x2+2x+1)2x2．
f′(x)>0,g′(x)
f(x)在（0,12］上为增函数，g(x)在（0,12］上为减函数．
f(x)max=f(12)=－12，
g(x)min=g(12)=32.
所以a的取值范围是［－12,32］．
点评：分离参数时，不等式左右两端同除以一个代数式时应注意其正负，分离参数后，函数的最值常借助于导数来求．
二、分离参数法求参数取值范围在二次方程根的分布中的应用
在二次方程根的分布问题中求参数的取值范围，可利用二次方程根的分布知识建立关于参数的不等式组，解之即得所求参数的取值范围；若方程中的参数可以分离，利用分离参数求解，更为简洁．
例2方程x2－2ax+1=0在［12,3］中至少有一个根，求实数a的取值范围．
思路点拨：分离参数a原命题转化为a=12x+12x在［12,3］中至少有一个根．只需在同一坐标系中作出函数f(x)=x2+12x与函数y=a的图像，使两图像在［12,3］内至少有一个交点，从而将问题转化为求函数值域．
解析：x2－2ax+1=0在［12,3］中至少有一个根a=12x+12x在［12,3］中至少有一个根．令f(x)=x2+12x,x∈［12,3］，y=a，画出两函数图像如图所示：
f(x)在（12,1］上为减函数，在［1,3］上为增函数，
f(x)的值域为［1,53］．f(x)min≤a≤f(x)max，即a∈［1,53］．
点评：“对勾函数”y=ax+bx（a>0,b>0），在（0,ba］为减函数，在［ba,+∞）上为增函数．这是非常有用的结论.二次方程中求参数的取值范围，可分离参数后转化为求函数的值域问题．数形结合，直观求解．
三、分离参数法求参数取值范围在函数单调性中的应用
函数单调性的应用问题常涉及到求参数取值范围．此类问题可转化为恒成立问题或实根分布问题来求解．
例3已知函数f(x)=(x2－ax+5)ex在区间［0,+∞）上单调递增，求a的取值范围．
思路点拨：f(x)在区间［0,+∞）上单调递增可以转化为f′(x)≥0在［0,+∞）上恒成立．分离参数法可求解．
解析：f(x)在区间［0,+∞）上单调递增f′(x)≥0在［0,+∞）上恒成立．
f′(x)=(2x－a)ex+(x2－ax+5)ex=ex(x2－ax+2x－a+5)=ex［x2+(2－a)x+5－a］
ex［x2+(2－a)x+5－a］≥0在［0,+∞）上恒成立．
原命题x2+(2－a)x+5－a≥0在［0,+∞）上恒成立．
方法一：（转化为恒成立问题）
x2+(2－a)x+5－a≥0在［0,+∞）上恒成立．
a(x+1)≤x2+2x+5在［0,+∞）上恒成立．
注意到x+1>0故上式a≤x2+2x+5x+1在［0,+∞）上恒成立．
令g(x)=x2+2x+5x+1，则原命题a≤g(x)min，下求g(x)在［0,+∞）上的最小值．
g(x)=x2+2x+5x+1=(x+1)2+4x+1=(x+1)+4x+1≥4，当且仅当x+1=4x+1时，
即x=1时g(x)min=4，所以得a的取值范围a≤4．
方法二：（转化为二次方程实根分布问题）
10当摹 0即－4≤a≤4时，f′(x)≥0在［0,+∞）恒成立．f(x)在［0,+∞）上单调递增．
20当 >0即a>4或a
综上得a的取值范围是a≤4．
求参数的取值范围问题，我们常常利用转化的思想，将问题转化为与之等价的恒成立问题或二次方程根的分布问题，巧妙分离参数，求参数范围问题往往能够顺利地解决．