正弦曲线和x轴的围成面积

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高中课程已经初步涉及了微积分的相关知识。下面这个问题对于加深微积分思想的理解和拓展同学的思维很有帮助。

问题的描述非常简单：计算正弦函数的图像在[0，π]区间内和x轴围成的区域的面积S，如下图所示。

对于学过微积分基本定理的大学学生，这个问题非常简单，图像围成的面积就是一个定积分。考虑到的原函数是，我们有，也就是说，这块区域的面积是2。

要求高中学生掌握上述解法是不合理的，也完全没有必要。我们所期望的，是他们根据微积分的思想用初等方法来解决。具体如何计算呢？

微积分的基本想法是“微小局部求近似”，然后“利用极限得精确”，这是要求高中同学有所理解的。具体到这个问题上来，我们把[0，π]等分为n个小区间，，i=1，2，…，n，每个区间的长度是。由于是连续函数，当n比较大的时候，我们期望每个小区间内的函数值变化不大，也就是用一个窄的矩形来近似它，矩形的高度可以选用这个小区间内任意一点的函数值，在这里，我们选用小区间的右端点的函数值。这样一来，整个区域被近似为n个窄的矩形，它们的面积之和是S的一个近似：

当n趋向于无穷大的时候，我们得到S的精确值：

到此，我们用微积分的套路，把这块区域的面积表示成了一个极限。这个极限很难直接求出，因为它的一般项是个正弦函数的求和。问题似乎变得更加复杂了。

在这里，我们将再次使用“微小局部求近似”和“利用极限得精确”的思想，用一个很巧妙的方法求出上述极限的值。

考虑一个圆心在原点的单位圆的上半部分，如下图所示：

设想一只蜗牛以单位匀速率（速度的方向时刻在改变，而且是连续改变）从（-1，0）移动到（1，0）。由于半圆弧长为π，所以蜗牛总共所需要的时候也是π。我们把这段时间也均分成n小段，，i=1，2，…，n，每小段时间的长度是也是。当n比较大的时候，我们可以近似认为蜗牛移动的方向不变，这里，我们选取每小段时间的末尾时刻蜗牛爬行的方向做为整小段时间内蜗牛的方向。对于第i小段时间来说，蜗牛爬行方向和竖直方向的夹角是，蜗牛在水平方向的速率是，因此，蜗牛在这一小段时间内在水平方向爬过的距离就是。由此，蜗牛在整段时间内在水平方向爬过的距离T可以近似为，同样的，当n趋向于无穷大的时候，我们得到T的精确值

最为关键的，在这个问题中，我们知道T的精确值，它就是从（-1，0）到（1，0）的线段的长度，T=2，所以，这意味着S=2。到此，问题解决。

在这个问题里边，我们两次使用了微积分的思想：“微小局部求近似”和“利用极限得精确”，为了把正弦曲线和x轴围成的面积表示为一个极限的形式，我们近似每个小区间内函数值相同；为了求得这个极限的值，我们又近似蜗牛在一小段时间内方向不变。两种近似，表象不同，却根出同源，结合起来，不动干戈地解决了开头提出的问题，这其中的奥妙，值得同学细细体味。