反证法 第4期

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一、初识反证法

关于反证法，我们先从一道常见的题目入手，来认识它.

例1 如图物体A放在传送带上，与传送带一起水平向右做匀速直线运动.试作出A所受力的示意图.

解析 本题表面上是一道作图题，但其实同学们感到最纠结的不是如何作图，而是无法明确判定物体A是不是受摩擦力！这也正是本题的难点所在.由于“吃不准”物体A是否受摩擦力，不少同学会作出如图2所示的两种错误示意图.

从常规的解题思路，即从摩擦力产生的条件来判断的话，由于A与传送带一起运动，处于相对静止，两者之间没有相对运动，只可能存在相对运动的趋势，因此只可能存在静摩擦，但因为“相对运动的趋势”本身是无法直接观察到的，所以从“有无相对运动趋势”去判断“有无静摩擦力”的常规思路在这里是行不通的.

换一种思路，若从题目的结论“是否受摩擦力”入手分析呢？

关于“物体A是否受摩擦力”，全部可能的结论如下：

假如A受水平向左的摩擦力（或受水平向右的摩擦力），则由于受力不平衡，A不可能做匀速直线运动，这就与题设条件“与传送带一起水平向右做匀速直线运动”相矛盾了，因此可知，假设A受水平向左的摩擦力（或受水平向右的摩擦力）是不成立的！否定了A受水平向左的摩擦力（或受水平向右的摩擦力）的假设，则A只可能不受摩擦力！

上述论证“物体A不受摩擦力”的方法就是反证法（又称归谬法、背理法）.反证法是一种间接证明方法，它不是对欲证明的结论展开直接论证，而是先提出和欲证明结论相反的假定――“物体A受摩擦力”，然后从这个假定中得出和已知条件（与传送带一起水平向右做匀速直线运动）相矛盾的结果（A不可能做匀速直线运动）来，这样就否定了原来的假定而肯定了所欲证明的结论.

由此可见，反证法是通过证明与论题相矛盾的反命题的错误，从而来确定论题的正确性的.反证法论证的基本步骤是：

1.反设.即假设结论的各种反面正确；

2.归谬.从这个临时假设出发，进行正确的推理，直至推导出谬误的结果；

3.结论.指出反设错误，确定原来论题是正确的.

反证法常常用于直接证明命题不易解决或不能解决时，在应用反证法解题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法.用反证法解题时，如果与所欲证明的结论相反的情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒就可以了，如果与结论相反的情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立.

二、再识反证法

在物理学发展的历史进程中，反证法扮演了十分重要的角色，许多著名物理问题的解决都曾借助于反证法，下面介绍两例.

我们知道，两千多年前，亚里士多德认为“物体自由下落的速度和物体的重量成正比”.因此，“物体越重，下落的速度就越快；越轻，物体下落的速度就越慢”.这一观察似乎接近日常生活的事实，因此两千多年来没有人怀疑过……直到伽利略在比萨斜塔用实验证明：一对同样大小的木球和铅球同时落地，从而确立了自由下落的物体，下落的速度与它的重量没有关系，这是关于自由落体运动的一个重要结论.

那么伽利略是怎么想到设计实验来挑战亚里士多德的观点的？其实在实验之前，通过反证法伽利略已经意识到亚氏学说的错误了，他的论证过程如例2.

例2 证明：重量不同的物体同时自由下落时，它们的下落速度时刻保持相同.

解析 1.反设：假设自由下落时，质量不同的物体下落的速度不相同，如重的物体下落快，轻的物体下落慢.

2.归谬：如果把轻重两物捆在一起，下落得更快还是更慢？一方面，捆在一起后总体重量更大，应该落得更快；另一方面，因重物下落快，轻物下落慢，下落快的重物将向下“牵带”着轻的物体，使其下落加快，而轻的物体将向上“牵拉”影响重物，使其下落变慢，因而两物捆在一起的下落速度应介于两者之间，如图3所示.

3.结论：上面从不同角度进行的两个推理，其推理过程正确无误，但结论却相互矛盾，说明原来的反设是错误的！同理，若一开始反设“重的物体下落慢，轻的物体下落快”，同样可以归谬出两个相矛盾的结论.这样，关于物体下落时的速度，只剩下一种可能的情况，即重量不同的物体同时自由下落时，其速度是相同的.

我们知道，把小磁针放在磁铁的磁场中，小磁针受磁场的作用，静止时它的两极指向确定的方向.在磁场中的不同点，小磁针静止时指的方向不一定相同.这个事实说明，磁场是有方向性的，我们约定，在磁场中的任意一点，小磁针N极的指示方向，为那一点的磁场方向.为了形象地描述各点的磁场方向，人们可以在磁场中画出一些曲线，使曲线上每一点的切线方向都跟这点的磁场方向一致，这样的曲线叫做磁感线.

例3 证明：任意两条磁感线不可能相交.

解析 1.反设：假设有两条磁感线a、b相交于P点，如图4所示.

2.归谬：由磁感线性质可知，线上某点的切线方向与该点的磁场方向一致.在P点，对应于两条不同的磁感线就有两个不同的磁场方向Ba、Bb.但磁场中某点的磁场只能有唯一确定的方向，不可能有两个方向.

3.结论：假设不成立，即磁感线不会相交.

三、精析反证法

从以上反证法的论证步骤可见，归谬是使用反证法论证的关键一步.如果我们在运用反证法论证物理问题时，不注意论证过程的归谬方式，就难以从反设中导出谬误，也就得不到论证的结果.用反证法论证物理问题，常用如下三种归谬方式：一是推出与原命题题设条件相矛盾的结论；二是推出与公认的现象、原理、定理、定义相矛盾的结论；三是推出两个相互矛盾的结论.

应用反证法时要注意：

1.归谬推理的过程必须完全正确.否则我们就不能将矛盾出现的原因唯一地归结于反设；

2.归谬推理时决不能忽视原命题的题设条件，否则要么推不出错误，要么不能断定所推导出来的结论是否是谬论；

3.在否定结论时，要分析可能出现的各种情况，若有两种以上的情况，要否定掉所有其他情况，不能有遗漏.

下面我们再来尝试用反证法论证几个问题.

例4 一个封闭金属环加热后内径将增大.

解析 学生常有疑虑，热膨胀是向各个方向进行的，金属环应该向内、向外都膨胀，向内膨胀应使内径减小！怎么会变大呢？

1.反设：假设一个封闭金属环加热后外径增大，内径将减小；

2.归谬：把金属环看成由Ⅰ、Ⅱ两部分组成，如图5.两部分的交线L是第Ⅰ环的外沿也是第Ⅱ环的内沿，当把L看成是Ⅰ的外沿时，受热将伸长，由于它又是环Ⅱ的内沿，按反设1它将变小.同一个L既伸长又缩短这是不可能的；

反设2：假设一个封闭金属环加热后外径增大，内径将不变，同样可推导出“L既伸长又不变”的矛盾结论；

3.结论：反设1、反设2都不成立，只有一种可能，即封闭金属环加热后内径将增大.

例5 下列说法中正确的是（ ）.

A.铺设楼房的楼板时，楼板之间应靠得很紧，不留缝隙

B.冬天架设电线时应比夏天架设时拉得略紧些

C.在一块金属板上挖一个小孔，在高温环境中这个孔会变小些

D.常温下刻制的钢尺，当在高温环境中使用时，其测量值会偏大

解析 本题中的选项C与题3相类似，在高温环境中这个孔会变大些，故选项C是错误的，正确答案为B.

例6 冰水混合物中冰与水的质量保持相对稳定时，其温度必定为0℃.

解析 关于冰水混合物的温度，存在三种可能，即大于0℃，小于0℃，等于0℃，如果能否定、排除其中的两种可能，则冰水混合物的温度必然是剩下的第三种可能.

反设1：冰水混合物的温度大于0℃；

归谬1：这种情况下，其中的冰会熔化，冰的质量会减少，水的质量会增加，这与条件“冰水混合物中冰与水的质量保持相对稳定”相矛盾；

结论1：冰水混合物的温度不可能高于0℃.

反设2：冰水混合物的温度小于0℃；

归谬2：这种情况下，其中的水会凝固，冰的质量会增加，水的质量会减少，这与条件“冰水混合物中冰与水的质量保持相对稳定”相矛盾；

结论2：冰水混合物的温度不可能低于0℃.

结论：冰水混合物中冰与水的质量保持相对稳定时，其温度必定为0℃.

例7 如图６所示，某同学用8N的力F把重5N的木块压在竖直墙壁上保持静止，则：

①木块受到的摩擦力大小为 N，

方向 ；②当人手对木块的压力增大到12N时，木块受到的摩擦力将 .（选填“变大”“变小”或“不变”）

解析 不少学生会习惯性地套用“压力越大，滑动摩擦力越大”的结论，草率地认定压力增大时，摩擦力将变大.其实，这时的摩擦力是静摩擦，不适用“压力越大，滑动摩擦力越大”的结论！假设摩擦力f随力F增大而增大的话，当f增加到大于物体重力mg时，物体就要向上跑，这就意味着我们用较小的力F时，物体还能压在墙上，用力大了物体反而压不住了还要向上跑，这种现象是不可能出现的！故假设是错误的，同理可证f随F的增大而减小也是不可能的.故压力增大时，木块受到的静摩擦力是不变的.

例8 如图7所示，放在光滑水平面上的小车上固定一块磁铁，一人用木杆吊着一块磁铁，始终保持两块磁铁之间有一定的间隙且不变.则小车的状态是（ ）.

A.向左运动，越来越快

B.向右运动，越来越快

C.匀速直线运动或静止

D.有时快有时慢的直线运动

解析 不少学生可能会认为，小车上固定的磁铁受到了另一磁铁的吸引力，因此小车会向右运动起来，并越来越快，其实这是没有全面分析小车受力所形成的错误判断！在水平方向上，除了受到另一磁铁的吸引力，小车还受到人（脚底）向左的摩擦力.

通过详细分析小车等各个物体的受力情况，来判断小车的运动状态，是常用的解题思路，但甚为繁琐！而运用反证法来进行排除，则简单得多！详细论述过程如下：

反设：假设小车运动状态如选项A（或选项B、或选项D）；

归谬：由题设条件“始终保持两块磁铁之间有一定的间隙且不变”可知，小车、两个磁铁、人、木杆之间是保持相对静止的，因此可以把它们看作一个运动状态完全一样的整体，由反设又可知，这个整体的运动状态如选项A（或选项B、或选项D），由运动和力的相关知识可推得，这个整体应该受到非平衡力.

分析整体实际所受的力，整体在水平方向上没有受到外力（整体以外的物体施加的力）的作用，原来各个部分之间的相互作用力（称为内力），如两个磁铁间的相互作用，由于大小相等、方向相反、作用在同一直线上，且作用于同一个整体上，所以对整体而言，这样的两个力相当于平衡力.所以这个整体实际受到的是平衡力！

结论：假设小车运动状态如选项A（或选项B、或选项D）都不成立，小车（整体）实际受平衡力，应做匀速直线运动或保持静止.

同理，如图8所示，在光滑的水平面上有一辆平板车，一个人站在这辆平板车上，用铁锤敲打车的右端.在锤的连续敲打下，这辆平板车也不可能持续地向左驶去.同样，人也不能揪着自己的头发离开地面！

例9 将阻值分别为R1与R2的两只电阻，第一次以某种方式连接后，两端加上电压U，这时R1消耗的功率是R2消耗的功率的4倍；若R1与R2第二次以另一种方式连接后，两端仍加上电压U，此时通过R1的电流大小为0.4Ａ，R2两端电压为8Ｖ，电路消耗的总功率为4Ｗ.

（1）根据题意，通过计算判断后，在方框中画出两次电路连接的示意图；

（2）求电阻R1与R2的阻值；

（3）求所加电压U的值.

解析 这道电学题很特别，没有电路图，没有提供电路连接方式.而将“判断电路是如何连接的”设置为本题的第一个问题，十分新颖.

本题中两个电阻连接的方式只有两种，要么先串联后并联，要么先并联后串联.具体是哪一种，可以应用反证法的思路，假设某一种方式，按这一方式进行计算，若出现矛盾，则否定此方式，肯定另一种方式；若不出现矛盾，则肯定所假设的方式，而否定另一种连接可能.第一问的具体计算判断过程如下：

假设第一次为串联，第二次为并联.

串联时，由条件■=■，可得

■=■=■=■；

并联时，U1=U2=8V，则

P1=U1I1=8V×0.4A=3.2W，

由■=■=■，I1=0.4A，可得

I2=1.6A，

则P2=U2I2=8V×1.6A=12.8W，

P总=P1+P2=3.2W+12.8W=16W.

计算结果与题设条件“电路消耗的总功率为4W”相矛盾，故假设的连接方式不正确.应为第一次并联，第二次串联.电路连接的示意图如图10所示.

由并联时■=■，可得■=■=■=■.

由串联时I1=I2=0.4A可得

R2=■=■=20Ω，

再由■=■可得R1=5Ω，

U=U1+U2=8V+0.4A×5Ω=10V，

或U=■=■=10V.