最小二乘法在经济中的应用
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摘 要：本文探讨了最小二乘法的基本原理，适用环境及其应用，具体是在商品销售预测中，用最小二乘法如何进行趋势预测，给经营者制定或调整计划提供理论依据等。并用具体事例加以论证。
关键词：最小二乘法；商品销售预测
中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）12-209-02
在实验中，作图法是研究各种量之间变化规律，找出对应函数关系，求经验公式的最常用方法之一。本文介绍在曲线拟合及线性回归方面得到广泛应用的一种有效方法——最小二乘法。
一、最小二乘法基本原理
设各直接测得量分别为 是这组测量值的最可信赖值（真值），则各测得量的偏差为： （1）
若本组测量服从正态分布，则 在区间 中出现的几率为： （2）
其中 是该测量列的标准偏差。
由于各测量值 彼此独立，所以它们同时在区间 中出现的几率为：
（3）
在设计实验时 ，构造矛盾方程组。通过用最小二乘法将矛盾方程组转换成未知数个数和方程个数相等的正规方程组 ，再进行求解得出 。由极大似然估计法可知 应满足下列方程组 ：
这样就实现矛盾方程组向正规方程组的转换。
1、最小二乘法在商品销售预测中的应用
经济预测是进行经济决策的一个重要部分，预测的结果为制定经营决策和经营计划提供了依据。本文简要介绍最小二乘法在商品销售预测中的具体应用。
例 经调查，石家庄市某商场 牌皮鞋2000年1月至12月的销售量如下表：
表2 牌皮鞋调查表 单位:双
月份 1 2 3 4 5 6
数量(双) 1325 1662 1557 1405 1657 2286
7 8 9 10 11 12 7
2399 2113 2359 2524 2910 2864 2399
首先作出表一所给调查数据的散点图（图略）并由散点图可以给出方程
其次列表计算，为了计算方便，取 的值为-11，-9，-7，-5，-3，-1，1，3，5，7，9，11步长为2，其和
1
2
3
4
5 -11
-9
-7
-5
-3 1325
1662
1557
1405
1657 -14575
-14958
-10899
-7025
-4971 121
81
49
25
9 1296
1440
1584
1728
1872 1755625
2762244
2424249
1974025
2745649
6
7
8
9
10
11
12 -1
1
3
5
7
9
11 2286
2399
2113
2359
2524
2910
2864 -2286
2399
6339
11795
17668
26190
31504 1
1
9
25
49
81
121 2016
2160
2304
2448
2592
2736
2880 5225796
5755201
4464769
5564881
6370576
8468100
8202496
0 25061 41181 572 25056 55713611
表3 计算结果
最后计算 与 确定的回归直线
，
即 。 。
回归直线方程为 。
将各期 值代入回归直线方程得到相应的 值，填入计算表2可看出，累计 值与2000年销售总和 相差无几。
计算相应系数并讨论相关程度
， ， ，
相关系数为 。
查相关系数表(按 )得回归临界值为 。（上接209页）因为， ，说明变量x与y间存在强相关关系，可以按式 。
进行预测，预测商店2004年第一季度 牌皮鞋销售量Y13=2088+72×13=3024；Y13=2088+72×15=3168；Y17=2088+72×17=3312
由此可见，如果某种商品在一个时期内销售比较稳定，就可用最小二乘法进行趋势预测，给经营者制定或调整计划提供了理论依据。
三、对最小二乘法应用的结论与讨论
最小二乘法是一种很实用的工具，通过最小二乘法在经济中的应用，我们知道最小二乘法就是使误差平方和达到最小的一种方法，它使各方程的误差之间建立了一种平衡，从而防止了某一极端误差，对决定参数的估计值取得支配地位，而这有助于揭示系统的真实的状态，因而得到广泛的应用。它的最大优点是：一切线性估计中，在无偏估计下，最小二乘法是其中方差最小者。它使各方程之间建立一种平衡，防止了极端误差。但在应用上的经验及理论研究表明：最小二乘法有一些缺憾，具体体现在精度、稳定性等方面仍需要进一步的改进。