2011中考之图形的认识与全等
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中考知识梳理
1. 线段、射线和直线
（1）线段的性质：两点之间，线段最短.
（2）两点确定一条直线；两条直线相交，有且只有一个交点.
（3）线段的垂直平分线是到线段两个端点距离相等的点的集合. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段的两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
2. 角
（1）角的分类：锐角（0°
（2）互为余角（两角和为90°）、互为补角（两角和为180°）.
（3）角平分线是指到角两边距离相等的点的集合. 角平分线上的点，到这个角两边的距离相等. 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
3. 平面上直线的位置关系
（1）对顶角相等.
（2）垂线的基本性质：①经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线. ②垂线段最短.
（3）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
（4）①两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行. ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. ③平行于同一条直线的两条直线平行.
（5）①经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行. ②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补. ③在同一平面内，如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，则也垂直另一条. ④两条平行线间的距离处处相等. ⑤平行线间的平行线段相等.
二、图形的全等
1. 概念
（1）能够完全重合的两个图形叫做全等形.
（2）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角.
（3）记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
2. 三角形全等的判定
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）.
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）.
（3）边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）.
（4）对于直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
中考试题剖析
（2011山东泰安）如图1，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠α的度数为（ ）
A. 25° B. 30° C. 20° D. 35°
A.
本题考查了平行线的性质，以及等腰直角三角形的性质. 可过点B作已知平行线的平行线，利用平行线性质可以求得∠α+∠β=∠ABC=45°，进而求得∠α的度数为25°，故选A.
（2011浙江绍兴）如图2，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=34°，则∠BED的度数是（ ）
A. 17° B. 34° C. 56° D. 68°
D.
本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，可以求得∠ABC=∠CBE=∠BCE=34°，进一步可由三角形外角的性质求得∠BED=68°，也可以利用三角形内角和定理求得∠CEB的度数，再由邻补角的知识求得∠BED=68°，或者，利用平行线的性质（两直线平行，内错角相等）求得∠BED=∠ABE=68°，所以选D.
（2011广东广州）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，有下列四个命题：
①如果a∥b，ac，那么bc；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果ba，ca，那么bc；
④如果ba，ca，那么b∥c.
其中真命题是________.（填写所有真命题的序号）
①②④.
本题考查了平行线的性质. 由“在同一平面内，如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，则也垂直另一条”得出①是正确的，由“平行于同一条直线的两条直线平行”得出②是正确的，由“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”可得③是错误的，④是正确的.
（2011浙江衢州）如图3，OP平分∠MON，PAON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B.
本题考查了点到直线的距离以及角平分线的性质. 由点到直线的距离定义可知垂线段最短，由角平分线性质可以得到PQ的最小值=PA=2.
（2011安徽芜湖）如图4，在ABC中，∠ABC=45°，点F是高AD和高BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为（ ）
A. 2 B. 4
C. 3 D. 4
B.
本题考查了等腰直角三角形的性质，余角的性质以及三角形全等的判定和性质. 由条件可以判定ABD为等腰直角三角形，因此，BD=AD. 在RtACD与RtBCE中，由同角或等角的余角相等可以得到∠CAD=∠FBD，又有∠CDA=∠FDB=90°，所以ADC≌BDF. 由全等三角形的性质得DF=CD=4，所以选B.
（2011重庆）如图5，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC. 求证：BC∥EF.
因为AF＝DC，所以AC＝DF. 又∠A＝∠D，AB＝DE，所以ABC≌DEF. 所以∠ACB＝∠DFE. 所以BC∥EF.
本题考查了等量公理，全等三角形的判定和性质，以及平行线的判定. 由等量公理（等量加等量和相等）可以得到AC=DF，合并已知条件，由“SAS”可以判定ABC≌DEF. 由全等三角形的性质可得∠ACB＝∠DFE. 由平行线的判定（内错角相等，两直线平行）可以判定BC∥EF.
（2011四川内江）如图6，在RtABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连结BE，EC. 试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想.
BE=EC，BEEC. 理由如下：因为AC=2AB，点D是AC的中点，所以AB=AD=CD. 因为∠EAD=∠EDA=45°，所以∠EAB=∠EDC=135°. 因为EA=ED，所以EAB≌EDC. 所以∠AEB=∠DEC，EB=EC. 所以∠BEC=∠AED=90°. 所以BE=EC，BEEC.
本题考查了线段中点的定义，等腰直角三角形的定义，邻补角定义，全等三角形的判定与性质. 由AC=2AB，点D是AC的中点，可得到AB=DC. 因为RtAED为等腰直角三角形，所以AE=DE，且∠EAD=∠EDA=45°. 所以∠BAE=∠CDE=135°. 由“SAS”可以判定EAB≌EDC，依据全等三角形的性质可以得到EB=EC，∠AEB=∠DEC，所以∠BEC=∠AED=90°. 所以BE=EC，BEEC.