二项展开式中系数最大值问题的探究学习

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浙江诸暨草塔中学 311812

摘要：二项式定理中经常出现一类求二项式系数最大值的问题，它除了要搞清楚某一项的二项式系数与系数的区别以外，还要对一些常见的系数最大值问题进行探求分析. 本文将对二项展开式中系数最大值问题进行探究.

关键词：二项式；最大值；方法；探究

以下是实录教学过程中师生的对话，从中可以体现出对二项展开式中系数最大值问题的探究过程.

问题求

+10展开式中系数最大的项.

师：本题小括号内的项很复杂，不仅有三次和五次根式，分母中还含有变量，请思考展开式中各项系数与二项式系数的关系.

生：因为小括内的两项和本身的系数为1，所以展开式中每一项的系数都等于该项的二项式系数，而展开式中中间项的二项式系数最大，故只需求二项式系数最大项即可.

解析由题可知，二项展开式的系数即是该项的二项式系数，所以系数最大的项为第6项，即T6=C・（）5

5=252x・y-1.

探究1求（x－y）9展开式中系数最小的项.

师：本题小括号内两项的系数与上题有何区别？

生：本题小括号内两项的系数分别为1和－1，故展开式中奇数项的系数等于该项的二项式系数，而偶数项的系数等于该项的二项式系数的相反数，即每一项的系数的绝对值与该项的二项式系数相等.

解析由题可知，二项展开式的系数的绝对值与该项的二项式系数相等，而展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，且第5项的系数为正，第6项的系数为负，故展开式中系数最小的项为第6项，即T6=C・x4（－y）5=－126x4・y5.

探究2求（1+2x）4展开式中系数最大的项.

师：可以发现，本题中小括号内两项的系数与二项式系数既不相等也不相反，该如何来求系数最大的项？

生：……

师：该题显然不能按上述两题的方法直接转化成二项式系数，但我们可以尝试用“夹逼法”来求解.

解析设展开式中的第（r+1）项为Tr+1=C・（2x）r （r=0，1，…，4），

故r=3. 即第四项的系数最大，T4=C・（2x）3=32x3.

探究3①式求解系数最大值时的r一定有解吗？如果有解，会有几个解？你能证明吗？

生1：可能会有多个解，比如有可能第3项比第2项和第4项的系数大，第6项比第5项和第7项的系数大……

生2：可能会无解，比如各项的系数依次减小或依次增大时，这样的r就不存在.

师：那我们不妨对一般性结论加以证明. 例如求（1+ax）n展开式中系数最大的项（其中a>0）. 请同学们按照“夹逼法”的思想进行探求. 下面由同学们自己思考.

解析设展开式中的第（r+1）项为Tr+1=C・ar，

所以上述方程组必有解. 且当和都为整数时，r有两解：，，否则r有且只有一解.

探究4求（1－2x）10展开式中系数最大的项.

师：本题小括号中第二项的系数为－2，所以各项的系数与二项式系数不同且展开式的项呈正负相间变化，与上题又有区别，又该如何求解呢？

生1：用“夹逼法”. 设展开式中的第（r+1）项为Tr+1=C・（－2x）r，

师：若将此式展开化简，则由于r的奇偶性不确定，所以（-2）r，（-2）r+1等的正负性不定，而且由于项的正负相间会有多个满足条件的r，故此法不可取.

生2：根据思路，直接用“夹逼法”不可行，因为项是正负相间的. 而展开式的奇数项为正，偶数项为负，故系数最大的项必为奇数项，即r为偶数.

设r为偶数，令

师：上述不等式组中的两个不等式都是二次不等式，虽然理论上可以求出满足条件的r，但求解过程较繁.

生3：考虑到项与项的绝对值之间的关系，不妨先求绝对值最大的项.

解析Tr+1=C・（－2x）r，令ar=C・2r，令ar+1>ar，即C・2r+1>C・2r，因为r∈N，所以r≤6，即r1

小结（1）对于二项式（ax+by）n展开式中系数的最大值问题，当a=b=±1时可直接转化到二项式系数求解，反之，可以直接用“夹逼法”思想或考查各项的系数绝对值的单调性来求解.

（2）本节内容从二项式系数的最大值问题开始，由浅入深，不断递进，同时对“夹逼法”思想进行了一般性探究，有利于学生创新思维品质的培养.

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