平行四边形面积教学的认知起点调查与分析
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贵刊发表了朱乐平老师“平行四边形、三角形、梯形面积教学”的校本教研活动方案，拜读后受益匪浅。朱老师在文中提出的“在学生没有学习平行四边形面积公式之前，如果给他们一个平行四边形的纸片，要求出这个平行四边形的面积，学生可能会运用怎样的方法”非常有意义。对于这个问题，笔者做了调查研究，现将过程与结果分析如下。
一、测查的问题
问题：你能想办法求出下面平行四边形的面积吗？请写出你的想法。
注：上面给出的平行四边形高4厘米、底7厘米、邻边（与水平方向成一个倾斜角的边）长5厘米，测查卷上数据不标注。
二、测查的对象及过程
（一）测查对象
五上年级学生，在还没有学习平行四边形面积计算公式之前。分别从杭州、宁波、台州各抽取一所学校的两个班级，共计人数250人。
（二）测查时间
杭州地区 台州地区 宁波地区
时间 2011年11月7日 2011年10月24日 2011年11月23日
（三）测查过程
以班级为单位测试上面的问题，不提供任何帮助。也没有规定时间，学生认为已经完成就把作业纸上交，如果认为自己不能解决问题，也可以上交作业纸。
三、 测查结果及分析
（一）约有38.4%的学生能够分别采用五种方法解决问题
对测查结果进行统计，结果显示能够解决问题的学生约占总人数的38.4 %。他们分别运用了五种解决问题的方法（详见表1）。
表1：能够正确解决问题的学生数与相应的方法统计表 所用教材 新思维教材（现在的浙教版） 人教版教材
调查地区 杭州市上城区某校 台州路桥区某校 宁波市江东区某校
调查班级 501 503 501 503 501 503
调查人数（单位：人） 34 31 53 52 41 39
解
决
问
题
方
法 “数方格”方法求出面积
14.66% 19.35% 0 0 0 0
“剪拼”成长方形求出面积
41.18% 32.26% 0 1.92% 21.95% 23.08%
直接用平行四边形面积公式求出面积 8.8% 9.68% 7.5% 7.69% 17.07% 10.26%
图形分割成直角三角形和长方形后求出面积
5.9% 6.45% 0 7.69% 4.88% 5.13%
图形补成长方形后求出面积
5.9% 6.45% 0 1.92% 0 0
第一种方法：“数方格”求面积。
学生在空白平行四边形上画出面积为1平方厘米的方格，再用“数方格”的方法求出平行四边形的面积。表中可见，学习新思维教材的学生采用这种方法解决问题的人数明显高于学习人教版教材的学生数。
第二种方法：“剪拼”转化成长方形求面积。
学生先将平行四边形沿着高剪开拼成长方形，量出数据再根据长方形面积计算公式求出面积。从表中可见，使用新思维教材的学生采用这种方法的人数比较多。
第三种方法：直接利用平行四边形面积计算公式求面积。
学生先测量出平行四边形各部分数据，根据“平行四边形的面积=底×高”求出面积。从表中可见，采用这种方法的学生人数比例不多，但两种不同版本教材的学生没有明显差异。
第四种方法：“分割”成直角三角形和长方形后求面积。
学生将平行四边形分割成两个直角三角形和一个长方形，再将两个直角三角形拼成一个长方形，量出数据，分别求出两个长方形面积，最后将两部分面积相加。从表中可见，极少数人采用此种方法解决问题。
第五种方法：补成长方形求面积。
在平行四边形左右两边补上两个直角三角形，补后的图形是一个大长方形，量出数据，求出大长方形面积。再将两个补上去的直角三角形拼成小长方形，量出数据，计算出小长方形的面积。最后用大长方形面积减去小长方形面积得到平行四边形的面积。
（二）约有61.6%的学生不能够正确解决问题
对学生所采用的错误方法进行了统计，发现学生主要出现的错误方法有以下五种（详见表2）。
表2：不能够正确解决问题的学生数与相应的方法统计表
所用教材 新思维教材 人教版教材
调查地区 杭州市上城区某校 台州路桥区某校 宁波市江东区某校
调查班级 501 503 501 503 501 503
调查人数（单位：人） 34 31 53 52 41 39
错
误
方
法 邻边相乘 8.8% 3.23% 83% 69.23% 9.76% 28.21%
计算周长 0 9.68% 5.77% 5.77% 12.20% 12.82%
拉成长方形后求面积 2.9% 3.23% 0 0 2.44% 0
计算内角和 0 3.23% 0 0 0 0
沿对角线分成两个全等三角形 0 0 0 3.85% 4.88% 10.26%
没有任何方法 17.65% 0 5.67% 1.92% 26.83% 2.56%
从表中可以发现：共有五种不同的错误方法，而 “邻边相乘”和“计算周长”为学生在解决问题时存在的主要错误。还有一部分学生没有任何解决问题的方法。学习新思维教材运用“邻边相乘”的错误方法的学生数比较少。
四、教学启示
基于以上的调查与分析，对平行四边形面积教学有以下两点启示。
（一）要重视积累“数方格”的基本活动经验
从表1中可以看到，有部分学生能够自己构建“方格”，并运用数方格的方法求出平行四边形的面积，说明这些学生对面积的意义掌握得很好。教师在教学面积的意义时，就应该重视学生数方格经验的积累。用新思维版教材的学生采用“数方格”的比较多，笔者查阅了这套教材，发现从一年级认数开始，就在“数方格”，如让一年级学生认识5，就有在方格纸上涂出5格这样的表征。由于教材的编者重视了“数方格”经验的积累，学生在遇到要解决平行四边形面积问题时，才有可能调度出这些经验来解决眼前的问题。重视基本活动经验的积累的确应该成为数学教学的重要目标。
（二）要重视运用直观防止负迁移
从表2中可以知道，不能正确解决问题的学生中，运用“相邻两边相乘”的方法求平行四边形的面积的学生数相对比较多。这是由于学生受长方形面积计算公式的负迁移的影响。因此教师在教学中，应该充分运用教具、学具和课件等直观的手段，防止学生负迁移的产生。朱乐平老师在“校本教研活动方案”中，提出了利用学具和课件帮助学生理解“平行四边形的面积与高有关”这样的观点很有道理。加强直观演示在小学数学教学中，应该得到充分的重视。
（浙江省宁波市朱雀小学 315000）