四边形难点剖析

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四边形一章所学内容虽然思路比较简单，推理论证难度不大，但从同学们的学习情况来看，往往存在着认识和方法上的错误，这便构成了本章的难点.

1.概念交错，容易混淆，常会“张冠李戴”

本章的一个鲜明特点就是概念多、定理多，概念与概念之间、定理与定理之间联系密切，极易混淆.怎样才能避免这个问题呢？同学们每学一个概念，要力求透彻、准确，结合图形反复理解.学完相近的概念或定理后，要前后比较，弄清每个概念或定理的条件和结论，反复思考，逐步加深理解.

例1判断：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（）.

面对这样模棱两可的命题，如何判断其真假呢？首先要意识到命题是从四边形对角线的角度来叙述的.根据正方形的性质可知：正方形的对角线互相垂直平分且相等，而题中的条件是四边形的对角线互相垂直且相等，缺少对角线互相平分这一条件，于是我们可立即举出反例（图1）判 断该命题为假命题.

举反例是本章学习中常用的方法之一，尤其在判断图形的形状或图形具备的性质时，常举反例.

为了研究四边形，本章常添加辅助线把四边形化为三角形，运用三角形的有关知识来研究四边形问题，这种思想的转化，是本章的另一特点.

任何事情都有它的两个方面，上述化归思想虽然给我们研究四边形找到了突破口，但它同时也束缚了我们的思维，必须指出的是：当我们学到了四边形的有关知识后，我们应该意识到，这些新知识有着旧知识无法替代的作用，它可使我们的思维更灵活，也可使解题化难为易.总之，我们要从直接运用新知识，避免回到旧知识做起.

例2 如图2，延长平行四边形ABCD的边BC至E，DA至F，使CE=AF，EF与BD相交于点O，求证：OF=OE.

方法1：按照以往的想法，就应证FOD≌EOB.

方法2：按照现在的思路，两条线段互相平分，恰是平行四边形具备的性质，故应联结BF、DE，证明四边形FBED是平行四边形，而这一点是容易证明的.

两种思维，两种解法，优劣之分，不辩自明.

3.一题多解，易走弯道，常爱“慌不择路”

本章由于定理多，因而解决问题的方法多.一题多解是本章的又一特点，当遇到一个问题有多种解法时，要注意选取简单的解法.

例3已知：如图3，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形.

方法1：证AED≌CFB得DE=BF，同理可证AEB≌CFD，得BE=DF.根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可知：四边形BFDE是平行四边形.

方法2：只证AED≌CFB得DE=BF，∠AED=∠CFB，进而有∠DEF=∠BFE，DE//BF.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知原命题为真.

方法3：做对角线BD交AC于点O，因四边形ABCD是平行四边形，故AO=CO，BO=DO，又AE=CF，于是EO=FO，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可知命题成立.

本例要判定四边形BFDE是平行四边形，用定义或判定定理1、2都可以，但都不如用判定定理3简单.当然，要想找捷径，一是要对所学知识较为熟悉，根据题目条件和可能的方法，逐一筛选；二是平时要多练习、多留心，加强对一题多解的研究.