作“最短距离”的方法

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近几年作图题在全国各地的中考试卷中频频出现，成为中考题的热点。解答这类题目需要学生进行观察、实验、操作、猜想、验证、推理等数学活动，有利于培养他们的分析、综合、概括和动手能力，是学生展示创新能力的平台。

综观各地中考试卷中的作图题，考查的主要知识点是轴对称，即利用轴对称作图求点与点之间的最短距离。解答时，除了利用轴对称的性质外，还主要利用“垂线段最短”“两点之间，线段最短”这两个公理。而学生往往混淆不清，不能理解它们的实质，从而无法正确解决问题。“垂线段最短”，是针对点与直线来说的，“两点之间，线段最短”则是针对点与点来说的，通过作图可以好好地体会它们的不同。在同一平面内，求最短距离时，可以借助轴对称及上述两个公理来解决；在空间内求最短距离的问题则可以转化为平面问题来解决。

例1 要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方可使所用的输气管线最短？

分析：假定已找到C点为泵站位置，使得AC+BC为最小，根据两点之间线段最短，可想办法将AC与BC转化到一条直线上，如将AC转化到直线BC上为CA′.

作法： （1）如图1作点A关于直线l的对称点A′；

（2）连接A′B交l于C点，连接AC， 则点C为泵站的位置，使得AC+BC为最小.

例2 如图2，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马先到草地边某一处放马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请画出这一天的最短路线.

分析：假设已在MN上找到点E，在l上找到点F，使得AE＋EF＋FB＋AB为最小. 由于AB的距离是定长，只要使AE＋EF＋FB为最小，根据两点之间线段最短，所以只需要将AE、EF、FB转化到一条直线上，可以作对称点来解决。

作法： （1）作点A关于直线MN的对称点A′；

（2）作点B关于直线l的对称点B′;

（3） 连接A′B′交MN于E点，交l于F点,连接AE、EF、BF、AB.

最短路线就是AE+EF+BF+AB.

点评：如图3，学生常常会错作成：如图3，过点A向MN作垂线，垂足为E,过点B向l作垂线，垂足为F,连接EF，AE＋EF＋FB＋AB为最短路线。他们根据垂线段最短，得出AE、BF是最短，但不能够使AE＋EF＋FB的和为最短，所以此时AE＋EF＋BF＋AB不是最短的.

例3 如图4，OX,OY是两条公路，在两条公路夹角的内部有一油库A，现在想在两条公路上各建一个加油站，为使运油的油罐车从油库出发先到其中一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库的路程最短，问两加油站应如何选址.

解：作点A关于OX的对称点A1,关于OY的对称点A2，连接A1、A2交OX、OY于点M、N，则为M、N选的地址. 利用作对称点，将AM、AN、MN转化在一条直线上，根据两点之间线段最短，使AM＋AN＋MN最短.

例4 如图5，一个正方体的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处。画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径。

解析：木柜的表面展开图是两个矩形ABC1D1和ACC1A1，蚂蚁能够最快到达目的地可能路径为AC1。立体图形的最短距离是将它展开成平面图形来解决。

在平面上的最短距离问题可以分为三类：第一类是作点到线的最短距离，是向直线作垂线，垂线段最短；第二类是作两点之间的最短距离，直接连接两点，两点之间线段最短；第三类是作几条线段的和，使这几条线段的和最小，是利用轴对称原理把不在同一直线上的线段转化到同一直线上，再根据两点之间线段最短，就能找到最短路径。