“跳出”方程解方程

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摘 要：高中数学的通性通法一直是数学考查的重点，但是通法虽好，有时却也会不失麻烦，尤其是在解决方程的问题时，由于只会求解最基本的一些方程，对于一些超出能力范围的方程问题，必须跳出方程的束缚，利用转化的思想方法来完成。就以高中数学中比较常见的方程问题为例，说明等价转化在解决方程时的重要性及有效性。

关键词：解方程；等价转化；数学问题

“就事论事”是解决数学问题时一种很常见的方法，即出题者要求你解决什么问题，我们就从已知条件入手，看看能推出什么有用的结论，从而解决问题；或者是从需要解决的问题着手，逐步寻找解决此问题需要具备的条件，从而一步步寻找该条件成立的条件，直至找到显然成立的条件，最终解决问题。可是很多的问题如果仅仅“就事论事”，虽然可以解决，但解决起来比较繁琐，以至于花费了很多的时间和精力，最终却出错了。还有一些问题仅仅“就事论事”可能根本解决不了，这就需要我们换个角度看待问题，利用等价转化的数学思想，转化为容易解决的问题，从而寻找到解决问题的捷径。

下面就列举方程的几个问题加以说明：

例1.方程log2x-x2=0的解的个数是几个？

按照我们一般的思路，要考虑方程的解的个数问题，如果是一元二次方程的实根问题，我们可以借助D的取值符号作出判断，对于其他一些方程的根的问题，最便捷的似乎就是直接求出方程的根，从而就知道根的个数了。但像例1这样的方程我们根本无从入手直接解。可是我们知道，方程的根的个数对应着函数的零点的个数，也对应着两个函数图象交点的个数，这就需要我们换个角度思考，利用转化的数学思想方法，把求这个方程的根的个数问题转化为我们熟知的函数y=log2x和y=x2的图象的交点个数问题。我们只要作出两个函数的图象很容易得出两个函数图象没有交点，从而例1的正确结果就是0个。这样一个从方程角度无法完成的问题，跳出方程的束缚后，原来可以轻松解决。

再如，这样一个方程问题：例2.若方程x2-ax+1=0在［■，3］上有解，求a的取值范围。此题看上去就是一个考虑一元二次方程的根的问题，大家应该都很熟悉。但你真正从一元二次方程的角度去分析时，你就会发现它其实非常复杂。方程在［■，3］上有解，包含了以下可能的情形：（1）方程在此区间上有两个不同的实数根；（2）方程在此区间上有两个相同的实数根；（3）方程一共有两个不等的实数根，其中一个在给定区间上，另一个在给定区间外等等。说到底要求出a的范围，必须先分别求出各种情形下a的取值集合，再求出各个集合的并集，想想就够烦了。繁琐的分类讨论势必会浪费大量的时间和精力，也更容易造成运算上的失误，真可谓是得不偿失。可是只要我们换个角度去思考，就会发现原式子很容易变形为a=x+■，［■，3］，这也使我们很自然地想到把方程有解的问题转化为函数y=a和函数y=x+■，x∈［■，3］的图象有交点的问题来求解。由于函数y=x+■，x∈［■，3］的值域是［2，■］，函数的图象是与y轴垂直的一条直线，所以要使两个函数图象有交点，a的取值必须是［2，■］，从而也就轻松地解决了这个方程问题。

由此可见，在解决方程问题时，直接求解虽然是一种最常见的方法，也就是所谓的通法，但是当直接求解比较复杂或者压根没法解决时，不妨跳出方程的束缚，灵活利用等价转化的数学思想方法，转化为与之等价的问题来加以求解，从而做到事半功倍。

（作者单位 浙江省金华市宾虹高级中学）