概念教学数学之魂

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[摘 要] 数学概念的教学一直在数学教学中有着极其重要的地位，是进一步学习的基础。本文分析了在数学概念的教学中要从五方面深入讲解，使学生深刻理解、熟练掌握概念本质,教学质量一定能提高。

[关键词] 数学 概念 教学 抓形成 抓要点 抓本质 抓变式 抓对比

数学中的论证是由一连串推理组成的，严谨的推理来源于正确的判断，而正确的判断是依据概念和应用概念进行的。因此，数学概念的教学在数学教学中有着极其重要的地位，是提高数学教学质量的有力杠杆。我们知道，正确地理解数学概念是掌握知识的前提，是培养学生逻辑思维能力必不可少的重要条件。但是，如何进行数学概念的教学，怎样传授概念教学的方法，历来是数学教学十分关注的热点之一。根据自己多年来的本人教学体会，认为教好数学概念教学必须做到“五抓”:

一、抓概念的形成，正确理解概念

在教学一个新的概念时，首先要注意它是如何形成的，是如何从具体的事物中抽象出来的，此概念的内涵（就是概念所反映的本质属性的总和）是什么，它的外延（就是具有概念所反映的本质的所有对象的集合）是什么，只有这样，才能使学生正确理解概念.例如：“函数”这一概念定义为：“如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个范围的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记作y=f(x)”.从定义可以看出，函数的概念的本质属性有：变量x的取值范围（定义域），对应法则f，每一个确定的x对应唯一确定的y值（y值的集合叫值域）.如果联系到我们前面学过的集合A到集合B的单值对应（也叫映射），应当发现，函数实质上就是定义域A，值域C以及A到C的对应法则f三部分组成的一个特殊的映射.

再如，讲授数列｛an｝的极限是A（即an=A），采用从直观描述，再由定性到定量，由浅入深地进行。（1）数列｛an｝的极限是A的描述是：当自然数n无限增大时，数列｛an｝无限趋近A.（2）什么叫数列｛an｝无限趋于A，就是| an-A|无限趋向于0，即当自然数n无限增大时，| an-A|无限趋近于0.（3）什么叫|an-A|无限趋近于0？就是|an-A|能任意小，即对预先指定的任意小的正数ε恒成立，通过对极限由表及里、由浅入深的认识，数列｛an｝的极限A可表述为“无论预先指定多么小的一正数ε，都能在数列中找到一项an，使得这一项后面的所有项与A的差的绝对值都小于ε（即当n>N时, | an-A|

二、抓概念的要点，分层次掌握概念

数学概念的教学，要注意对概念逐字逐句加以推敲分析，善于剖析每一概念的层次要点，多层次、全方位地启发学生理解概念.例如：“奇函数”的概念，课本上是这样写的：“对于函数f(x)，如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x).那么函数f(x)叫做奇函数.“那么，这个概念的内涵是什么呢？通过深“深抠”，使同学们认识到：（1）对奇函数来讲， x与-x都应该在定义域中，即它们的定义域关于原点必须是对称的，这是一个隐含条件；（2）对定义域内任意一个x，都有f(-x)= -f(x),这就是说它的自变量，因变量之间有这样的一种特定的对应规律，即对于自变量的两个相反值x与-x，它们对应的函数值f(x)与f(-x)恰好是相反数；（3）这种特定的对应规律，反映在作图上，必然是函数的图象关于原点对称.这样一“抠”就使学生清楚地认识到奇函数的三条性质是从它的定义中引伸出来的，定义和性质是源与流的关系，因与果的关系.两者之间不是孤立的、割裂的，这样一步一步地使学生正确理解函数的奇偶性是函数定义域上的一个整体，而不是局部的性质.使学生深刻理解概念理论体系和理论发展中的科学价值，从系统上，本质上正确掌握概念。

三、抓关键，找本质强化概念

概念是对客观事物本质属性的概括和反映，要正确理解某一概念，必须引导学生全力找出概念的本质，把概念的本质属性向学生讲清楚，切忌让学生死记硬背。例如：“椭圆的定义”，课本上是这样定义的：“平面内到两定点的距离的和等于常数（大于两定点的距离）的点的轨迹叫做椭圆。”通常表示为椭圆就是集合；P={M| |MF1|+|MF2|=2a}不少同学死记这个公式，认为只要形式上符合这个公式，则M点的轨迹就是椭圆，认为满足方程|z-i|+|z+i|=2的点z的轨迹是椭圆，事实上，点z的轨迹是不存在的，因为定义要求动点到两定点的距离之和大于两定点的距离，即2a>|F1F2|，之所以发生此类的错误，主要原因是学生没有掌握概念的本质属性。

再如，集合的概念，课本上是这样说的：“像这样，把具有某种属性的一些对象，看作一个整体，便形成一个集合。”通过典型的例题分析，引导学生发现集合的本质属性是：集合的范围、集合的特征、集合的对象”。而形成集合的元素必须具备以下三点：（1）集合里的元素是确定的，这就是说，任何一个对象或者是这个集合的元素，或者不是这个集合的元素，二者必居其一。（2）集合里的元素是互异的。这就是说，一个集合里的元素都是彼此不同的，即在一个集合里元素不能重复出现如方程（x-1）2=0的实数解的集合里只有一个元素1。（3）集合里的元素是无序的，在一个集合里，通常不考虑它的元素之间的顺序，也就是说，集合的元素哪个在前，哪个在后是无关紧要的，只有让学生掌握了概念的本质属性，才能不出现象“花园里好看的花”、“较大的数”等组成的集合的错误。

四、抓变式、举反例深化概念

数学概念大都是从正面阐述的，从而导至教师讲解时，机械地讲授数学概念，如果在教学中，在学生正面认识概念的基础上引导他们从反面或侧面去剖析，那么就可以深化对概念的理解。例如，在讲授等比数列的定义后，可以向学生提问：“是否存在公比为0的等比数列？”通过分析讨论知道，这种数列是不存在的。而且学生可以得到一个新的发现――等比数列中的项是不能为0的，至此，学生对等比数列的概念加深了了解。

“曲线和方程”的对应关系比较抽象，学生不易理解，教学中，可先通过实例，使学生弄清曲线和方程的内在联系，再归纳出曲线和方程的一般关系。

（1）“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有点都适合这个条件而毫无例外（纯粹性）.

（2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”阐明适合条件的所有点都在曲线而毫无遗漏（完备性）

只有具备了上述两个条件，才能称为“曲线的方程”和“方程的曲线”，为了使学生正确理解曲线和方程间的对应关系，可举实例从反面加以说明：

过点（2，0）平行于y轴的直线L与方程|x|=2之间的关系，如图1直线L上的点只具备条件（1）而不具备条件（2），因此，方程|x|=2不是直线L的方程，直线L也不完全是方程| x|=2的直线，它只是方程|x|=2所表示的图形(如图2)的一部分。

例2、到两坐标轴距离相等的点轨迹与方程y=x之间的关系，只具备条件（2），而不具备条件（1），如图3因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线L1和L2，直线L1上点的坐标都是方程y=x的解，但直线L2上的点（除原点外）的坐标就不是方程y=x是直线L1的方程，方程y=x不是所求的轨迹方程，通过上面两例，使学生对曲线和方程概念的理解等到了深化。

在教学中，寻求分式的多变形式，逐步培养学生灵活多变的思维能力，同时也加深了对概念的理解，如对数tg(α+β)= (tgα+tgβ)/(1- tgαtgβ)可变为tgα+tgβ=tg(α+β)・(1- tgαtgβ)也可变为（1- tgαtgβ）=(tgα+tgβ)/ tg(α+β)等。

五、抓对比，找联系巩固概念

在数学教学中，有许多概念即有本质上有不同的一面，又有内在联系的一面，在教学中，如果只注意某一概念的本身，忽视了不同概念之间的联系，那么就会使学生对所学概念的掌握停留在肤浅的表面上，因此，抓对比找联系的教学方法，可以使学生区别异同，防止概念模糊，直到深化巩固概念的作用，例如两角和与差的三角函数中，sin(α+β)、cos(α+β) 的公式与tg(α+β)的公式既相互独立，又可互相推导，和差化积与积化和差公式通过换元可以互相转化，又如排列与组合两个概念从本质上讲是不同的，但从n个元素中取出m不同的元素排列可以在n个元素中取出m个元素的组合的基础上再进行m个元素的全排列得，从而导出分工Pmn=CmnPmm，通过寻求异向点，进行分析对比，从而加深理解和巩固子概念。

总之，在数学概念教学中，我们只要从教材和学生的实际出发，注意和运用上面的几点，一定能取得较好的效果。