与角平分线有关的中考题分类解析

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角平分线是初中数学的一个重要概念，它常与一些基本图形有机组合在一起，从而使得这些图形具有更加丰富的性质.现以2007年部分省市中考试题为例加以解析，希望能对大家有所启发.

一、运用角平分线的定义沟通角之间的关系

例1（湖北荆州）如图1，矩形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于P点，将一个直角三角板的直角顶点放在P点处，且使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于E.找出图中与PA相等的线段，并说明理由.

解析：由DP平分∠ADC可得∠ADP＝∠PDC＝45由AD∥BC可得∠ADP＝∠DPC，从而得到∠PDC＝∠DPC，所以PC＝DC.又因为AB＝DC.所以AB＝PC.由于直角三角板的直角顶点放在点P处，所以∠APE＝90从而∠APB＋∠EPC＝90，又因为∠EPC＋∠PEC＝90，所以∠APB＝∠PEC.在PAB和EPC中，因为∠B＝∠C＝90AB＝PC，∠APB＝∠PEC，所以PAB≌EPC，从而可得PE＝PA.

点评：本题把角平分线置于矩形的背景之中，与平行线组合使用，沟通了角与角之间的关系.由于角平分线、平行线都具有转化角的作用，在两者共存的图形中常会出现等腰三角形，所以命题者常将两者组合，设计出精彩纷呈的题目.

二、运用角平分线的性质转化垂线段的长度

例2（河南省）如图2，点P是∠AOB的角平分线上一点，过P作PC∥OA交OB于点C．若∠AOB＝60，OC＝4，则点P到OA的距离PD等于_____．

解析：因为OP平分∠AOB，∠AOB＝60，所以∠AOP＝∠BOP＝30由PC∥OA可得∠OPC＝∠AOP＝∠BOP＝30，所以PC＝OC＝4，∠PCB＝∠OPC＋∠POC＝60 由于点P是∠AOB的角平分线上一点，且PDOA，所以可联想到角平分线的性质――角平分线上的点到角两边的距离相等，为此过点P作PEOB于点E，则PE＝PD.在RtPCE中，由∠PCE＝60可得∠CPE＝30，从而PC＝2CE＝4，由勾股定理可得PE＝ ＝＝２，从而点P到OA的距离为PD＝PE＝2.

点评：角平分线的性质是角的轴对称性的一个具体体现，由条件“PDOA”联想到角平分线的性质是解决本题的思维突破口.本题通过添加辅助线，构造出了角平分线性质的基本图形，巧妙实现了垂线段长度的转化.

三、运用等腰三角形“三线合一”性质巧作角平分线

例3（江西省南昌市）如图3，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（请保留画图痕迹）．

解析：由条件OA＝OB可联想到连接AB，得到等腰三角形OAB.根据等腰三角形的“三线合一”性质，要画出∠AOB的平分线，只需作底边AB上的中线.考虑到AB是矩形AEBF的对角线，根据矩形的性质，要作出AB的中点，只要连接EF，那么AB与EF的交点C就是AB的中点，从而过点C作射线OC就可得到∠AOB的平分线（如图4）.

点评：命题者把等腰三角形“三线合一”性质的基本图形与矩形的基本图形进行了有机的组合.本题有两个巧妙之处，一是矩形对角线的交点恰好就是等腰三角形底边的中点，二是等腰三角形底边上的中线恰好就是顶角的平分线.正是这两个“巧妙”，为我们作角的平分线提供了一种新方法.

四、以角平分线为轴构造翻折型全等三角形

例4（山东省济宁市）如图5，A、B分别为x轴和y轴正半轴上的点.OA，OB的长分别是8，6，直线BC平分∠ABO交x轴于C点，P为BC上一动点，P点以每秒1个单位的速度从B点开始沿BC方向移动.

（1）求直线BC的解析式；

（2）设PA－PO＝m，P点的移动时间为t.

①当0＜t≤4时，试求出m的取值范围；

②当t＞4时，你认为m的取值范围如何？(只要求写出结论)

解析：（1）如图5，在RtABO中，根据勾股定理，由OA＝6，OB＝8可得AB＝10.由于BC平分∠ABO，所以可过点C作CDAB于点D，易证得OBC≌DBC，所以BD＝BO＝6，OC＝CD，又因为AB＝10，所以AD＝4.设OC＝CD＝x，在RtACD中，由勾股定理得CD2＋AD2＝AC2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，所以点C的坐标为(3，0).设BC的解析式为y＝kx＋b，把B(0，6)、C(3，0)代入得，解得，所以BC的解析式为y＝－2x＋6.

（2）先考虑t＝4这种特殊情形（如图6），此时PB＝4 ，又因为BC＝ ＝＝3，所以PC＝ 4－3 ＝.作PHOA于点H，易得OBC∽HPC，所以 ＝＝，即＝，所以CH＝1.由OC＝3，CH＝1可得OH＝4，又因为OA＝8，所以H为OA的中点，又PHOA，所以此时PO＝PA，即m＝0.

①当0＜t≤4时（如图7），显然PA≥PO，即m≥0.由于BC是∠OBA的角平分线，所以可考虑构造翻折型全等三角形，为此在BA上截取BE＝BO＝6，易证得BPO≌BPE，从而PE＝PO.在PAE中，根据三角形三边关系可得，PA－PE＜AE，而AE＝4，所以PA－PE＜4，又因为PE＝PO，所以PA－PO＜4，即m＜4，又此时m≥0，所以当0＜t≤4时，0≤m＜4.

②当t＞4时（如图8），显然PA＜PO，即m＜0.同①可得m＜4，所以当t＞4时，m＜0.

点评：以角平分线所在直线为对称轴构造翻折型全等三角形，实现线段间的转化，使分散的线段集中到同一个三角形中，从而为运用勾股定理、三角形三边关系创造条件.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”